Problème de probabilité

(et de poissons)

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Bonjour tout le monde :)

Il se trouve que je maîtrise pas des masse les probabilités et que ça fait longtemps, donc je bloque sur un "bête" problème. Je vais vous le détailler ci-dessous avec des tentatives de réponses de ma part:

Des éleveurs produisent des poissont d'ornement dont la couleurs définitive ne se révèle qu'après 3 mois.

  • Pour les alevins du premier élevage, entre 2 et 3 mois, 10% n'ont pas survécu, 75% deviennent rouge et 15% deviennent gris ;
  • Pour ceux du second élevage, entre deux et 3 mois, 5% sont morts, 65% deviennent rouge et 30% deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins à 2 mois, 60% du premier élevage, 40% du second.

Et ensuite, les questions:

Un enfant achète un poisson à son arrivée à l'animalerie

  1. Déterminer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0.92
  2. Déterminer la probabilité que le poisson soit gris un mois plus tard
  3. Sachant que le poisson est rouge à 3 mois, déterminer la probabilité qu'il vienne du 2ième élevage

Pour la première question, de manière assez évidente, $P(vivant) = 1 - P(mort) = 1-(0.6\times 0.1 + 0.4\times 0.05) = 0.92$.

Pour la deuxième question, même principe, j'imagine, donc $P(gris) = 0.6\times 0.15 + 0.4 \times 0.3 = 0.21$, mais j'ai l'impression qu'il y a un truc que je capte pas (trop simple à mon gout).

Pour la troisième question, vu qu'il y a un "sachant", je vois venir un $P(elevage\,2\,|\,rouge) = P(elevage\,2\cup rouge) / P(rouge)$, sauf que quand je fait ça, je tombe systématiquement sur $P > 1$, donc à mon avis, je me plante sur la définition de $P(elevage\,2\,\cup\,rouge)$ (= $P(elevage\,2) + P(rouge)$? )

Et puis ça continue:

Une personne choisi au hasard 6 alevins de 2 mois,

  1. Déterminer la probabilité que 1 mois plus tard, 4 soient en vie ;
  2. Déterminer la probabilité qu'au moins 2 soient en vie un mois plus tard.

Ça, pour moi, ça ressemble furieusement à tout ces problèmes de cartes. Comme il y a répétition, et qu'on se fout de l'ordre, j'ai envie d'utiliser $C_{n+p-1}^p$. Le problème, c'est que si je veux employer cette approche, c'est de réussir à intégrer le fait qu'un poisson à une probabilité 0.08 de mourir, donc d'écrire un truc

$$P(\text{2 morts parmi 6}) = \underbrace{(0.08)^2}_{\text{2 morts}} + \underbrace{(0.92)^4}_{\text{4 vivants}} = 0.722$$

Mais je suis pas convaincu.

Et pour la dernière question, j'imagine que le "au moins deux en vie" veux dire que $P = P(\text{4 morts}) + P(\text{3 morts}) + P(\text{2 morts}) + P(\text{1 mort}) + P(\text{0 morts})$, mais pour ça, il me faudrait comprendre exactement comment répondre à la question précédente.

Bref, si vous voyez des fautes ou que vous avez des pistes à me donner, je suis preneur :)

D'avance merci !

Édité par pierre_24

Doctorant et assistant en chimie à l'Université de NamurEx-dev' pour ZdS (a aidé à réaliser la ZEP-12 !) • Carniste cis (y parait que c'est une injure)

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Pour la deuxième question, même principe, j'imagine, donc $P(gris) = 0.6\times 0.15 + 0.4 \times 0.3 = 0.21$, mais j'ai l'impression qu'il y a un truc que je capte pas (trop simple à mon gout).

Notons les évènements suivants :

  • $A$ : le poisson vient du premier élevage
  • $G$ : le poisson est gris

$A$ et $\bar A$ forment un système complet d'évènements donc, d'après la formule des probabilités totales :

$$ P(G) = P(A \cap G) + P(\bar A \cap G) $$

D'où, comme les probabilités de $A$ et $\bar A$ sont non nulles, on a (c'est la formule des probabilités composées) :

$$ P(G) = P(A)P(G \mid A) + P(\bar A)P(G \mid \bar A) $$

Donc ton résultat est correct ($\bar A$ désigne en fait l'évènement "le poisson provient du deuxième élevage").

Pour la troisième question, ta définition du "sachant" est fausse. Pour la résolution, jette un coup d'oeil à la formule de Bayes. :)

Pour la question 1 de la suite, tu peux procéder ainsi :

  • Regarder si un poisson est vivant constitue une expérience de Bernouilli, dont tu as calculé le paramètre dans une des questions précédentes ;
  • Le nombre de poissons vivants suit donc une loi binomiale.

Édité par Vayel

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Auteur du sujet

Merci pour la formule de Bayes, c'est effectivement ça, j'aurais du le voir :-)

Pour ce qui est de la "suite de la question", c'est justement coupler la binomiale (2 morts parmis 6 + 4 vivants parmis 6) qui me pose problème :

$$P = \frac{A^2_6\,A^4_6}{A_6^6}$$

… Ça ne me permet pas d'intégrer ma probabilité de mort (0.08) et de vivant (0.92).

Quand je dis que je suis une bouse intersidérale en proba ^^

Doctorant et assistant en chimie à l'Université de NamurEx-dev' pour ZdS (a aidé à réaliser la ZEP-12 !) • Carniste cis (y parait que c'est une injure)

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Au bout de deux mois, tu as six poissons. Tu regardes pour chacun d'eux s'il est en vie. Se demander si un poisson particulier est en vie constitue une expérience Bernoulli de paramètre p. Alors, la variable aléatoire du nombre de poissons en vie suit une loi binomiale de paramètres 6 et p. Tu en déduis facilement la probabilité pour que cette variable aléatoire vaille 4.

Tu as tous les outils dans l'introduction de l'article de Wikipédia sur la loi binomiale. :)

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Auteur du sujet

Aaah, oui, bien vu :)

Ok, et du coup la réponse à l'exo 2 ("au moins $x$ poissons vivants") est évidente, donc un très grand merci !

Quand j'aurais un peu de temps, il faudra que je me refasse un cours de proba' convenablement :)

Édité par pierre_24

Doctorant et assistant en chimie à l'Université de NamurEx-dev' pour ZdS (a aidé à réaliser la ZEP-12 !) • Carniste cis (y parait que c'est une injure)

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