La saga de l'algèbre - Des équations aux matrices

A la découverte d'un nouvel objet mathématique

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Auteur du sujet

Hello
Mon nouveau tuto, cette fois sur l'algèbre linéaire. L'idée de ce tuto m'était venue lors des discussions sur le forum à propos de l'enseignement des maths. J'essaye donc d'expliquer les notions de manière pas trop formelle, de manière à faire un tuto de découverte qui puisse aider les lycéens à passer le fameux cap lycée-université.

J'aimerais donc savoir ce que vous en pensez, si l'objectif est atteint, si le tuto est suffisant pour aborder des cours de niveau université ou si vous rajouteriez des choses…

(J'ambitionne d'en faire le premier tuto d'une série sur l'algèbre, à la manière de mes tutos sur les nombres)

Merci d'avance pour votre aide

Édité par Looping

Merci pour ce tutoriel. Pour positionner mes remarques, je sors d'une prépa Maths. Donc en principe, les notions abordées ici me sont familières.

Je ne relève pas tous les guillemets anglais, qui devraient, je pense, être convertis en français.

Introduction

Fond

Bref, lorsque que vous avez inventé les équations.

Le terme "inventé" ne me paraît pas judicieux, vu qu'on a rien inventé, seulement découvert.

associativité, commutativité, distributivité

Peut-être pourrais-tu faire une piqure de rappel entre parenthèses ? Un truc du genre :

associativité ($(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c$), commutativité ($a + b = b + a$), distributivité ($a \times (b + c) = ab + ac$)

les nombres négatifs pour résoudre l'équation x+1=0

Peut-être faudrait-il préciser qu'on parle ici d'entiers ? Ca me semble plus cohérent avec le fait que tu mentionnes réels et rationnels après dans la liste.

car toutes les équations de n'importe quel degré y étaient résolubles

Le "y étaient" fait un peu bizarre. J'imagine que tu veux dire "étaient résolubles dans $\mathbf C$" ?

Présentation

Qu'est-ce que l'algèbre ?

Il me semble intéressant de mettre cette question dans le bloc correspondant. Après, je ne suis pas certain qu'elle soit nécessaire.

Pour répondre à cette question

Pourquoi ne pas ouvrir un autre paragraphe ?

les matrices et les espaces vectoriels

Tu as mis le premier "les" en gras, mais pas l'autre. ^^

Orthographe

pour vous poser la question "trois plus combien font sept"

Peut-être pourrais-tu mettre un point d'interrogation à la fin de ladite question ?

x+1=0,

Il me semble que c'est plutôt un point-virgule.


Sinon, il semblerait que tu ne parles que d'algèbre linéaire. Peut-être serait-il intéressant de l'indiquer en introduction ?

Encore merci !

Édité par Vayel

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Plop, voilà mes remarques :

  • Il faudrait essayer de corriger les guillemets : tu mets des " au lieu de « et ».
  • Excellente introduction, l'une des meilleures.

I

I. 1

  • La présentation des systèmes d'équations est à revoir (notamment quand tu les résous). C'est très moche, mais c'est vrai que c'est difficile à manipuler ici.
  • J'aurais tendance à corriger « $det$ » en « ${\rm det}$ » ou « ${\rm dét}$ ».
  • Je trouve les matrices bizarrement introduites. Peut-être que tu pourrais insister sur le passage matrice <-> système. Notamment bien dire ce que deviennent les $x$ et $y$ dans une matrice et pourquoi ils sont abstraits.

I.2

  • Tu fais apparaître le terme « produit croisé », c'est peut-être un peu hors sujet, non ?
  • Les formules de Cramer sont un peu abruptes. Il faudrait développer un peu plus en mettant bien en évidence les matrices en jeu.
  • Pour le calcul du déterminant dans les équations à 4 inconnues, ce serait peut-être bien de faire un rappel sur les permutations. Elles sont utilisées sans trop avoir été introduites.

Rien d'autre à dire sur la première partie.

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Auteur du sujet

Le terme "inventé" ne me paraît pas judicieux, vu qu'on a rien inventé, seulement découvert.

C'était fait exprès, une sorte de figure de style pour impliquer le lecteur dans l'histoire des maths.

associativité, commutativité, distributivité
Peut-être pourrais-tu faire une piqure de rappel entre parenthèses ?

Ca alourdirait. A un moment, faut être clair avec le niveau du lecteur.

pour vous poser la question "trois plus combien font sept"
Peut-être pourrais-tu mettre un point d'interrogation à la fin de ladite question ?

Je ne pense pas que c'est nécessaire dans cette phrase, quand je la lis à voix haute, je ne mets pas un ton interrogatif.

  • La présentation des systèmes d'équations est à revoir (notamment quand tu les résous). C'est très moche, mais c'est vrai que c'est difficile à manipuler ici.

J'ai essayé de modifier un peu.

  • Je trouve les matrices bizarrement introduites. Peut-être que tu pourrais insister sur le passage matrice <-> système. Notamment bien dire ce que deviennent les $x$ et $y$ dans une matrice et pourquoi ils sont abstraits.

J'en parle plus tard. Ici, je suis le cheminement historique, où la matrice n'est au début qu'un moyen visuel d'organiser le système pour en faire sortir le déterminant. Et comme je ne veux pas sortir une notion du chapeau, je ne peux pas parler de AX=B avant de parler de la multiplication des matrices.

  • Tu fais apparaître le terme « produit croisé », c'est peut-être un peu hors sujet, non ?

C'est pour une indication visuelle pour retenir le schéma de la multiplication dans la matrice. Je l'ai mis entre guillemets, mais à ce niveau, le lecteur ne confondra pas avec autre chose je pense.

  • Pour le calcul du déterminant dans les équations à 4 inconnues, ce serait peut-être bien de faire un rappel sur les permutations. Elles sont utilisées sans trop avoir été introduites.

Quels rappels manqueraient pour la compréhension de cette partie ? Je préfère évider d'introduire une notion s'il elle n'est pas nécessaire au déroulement du tuto.

Les autres remarques ont été prises en compte.

Sinon pensez-vous que les explications sont compréhensibles pour un débutant ? Je dirais Terminale. Ou quelqu'un qui vient de commencer l'algèbre linéaire et qui cherche des ressources moins scolaires que son cours.

Je compte poursuivre avec d'autres tutos d'algèbre mais j'ai pas encore trop réfléchi sur la suite. Donc dans les dernières parties, est-ce qu'il pourrait y avoir des notions à rajouter à ce niveau ? Je veux dire des notions généralistes sur les matrices ou les EV, qu'il pourrait être intéressant de développer en un dernier petit chapitre ?
Ou même si vous avez des idées pour les prochains tutos (pour faire une sorte de parcours d'algèbre linéaire).

Édité par Looping

Quels rappels manqueraient pour la compréhension de cette partie ?

Quand je relis le passage en question, je trouve que ça a été intelligemment placé. Du coup je sais pas trop quoi répondre.

Peut-être explicite un peu plus cette histoire de « dérangement » et ça sera parfait (il m'a fallut deux lectures rapides pour comprendre).

Je compte poursuivre avec d'autres tutos d'algèbre mais j'ai pas encore trop réfléchi sur la suite. Donc dans les dernières parties, est-ce qu'il pourrait y avoir des notions à rajouter à ce niveau ? Je veux dire des notions généralistes sur les matrices ou les EV, qu'il pourrait être intéressant de développer en un dernier petit chapitre ?

Je te conseillerai de partir sur un autre tuto pour les EV. Les mettre dans un dernier chapitre revient un peu à les punir dans un coin, je pense que ça sera plus visible si tu y dédies un tuto.

Ou même si vous avez des idées pour les prochains tutos (pour faire une sorte de parcours d'algèbre linéaire).

Et bien il y a plein de notions qu'il faudrait aborder (dans l'idéal) !

  • Les ev en dimension finie et infinie ;
  • applications linéaires ;
  • réduction des endomorphismes ;
  • applications bilinéaires, forme quadratiques et produit scalaire ;
  • applications multilinéaires et multilinéaires alternées ;
  • tenseurs.

Un tuto pour chaque notion (ou deux) me paraît déjà un bon pari.

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Salut ! Juste comme ça, pourquoi ce tuto n’as pas été publié ? Il semble être fini et ne pas avoir de problèmes particuliers si ?

Nous ne sommes que de bulles solitaires dans le grand bain moussant de la vie.

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J’avais pris en charge la validation. Il avait été convenu qu’une phase de retouches devait être entreprise avant de revenir à la validation

Je n’ai effectivement pas repris le temps de m’y replonger. Il faut que je me motive :)

Et au risque de dire une bêtise, pourquoi ne pas le valider en l’état ? Il me semble largement complet et compréhensible. Plutôt que d’attendre une version parfaite qui peut prendre du temps, pourquoi ne pas publier la version actuelle et l’améliorer petit à petit ?

Il me semble que le tuto sur python3 adopte cette méthode par exemple. En maths l’avantage est qu’un contenu ne risque pas d’être obsolète contrairement à la programmation.

Nous ne sommes que de bulles solitaires dans le grand bain moussant de la vie.

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Et au risque de dire une bêtise, pourquoi ne pas le valider en l’état ? Il me semble largement complet et compréhensible. Plutôt que d’attendre une version parfaite qui peut prendre du temps, pourquoi ne pas publier la version actuelle et l’améliorer petit à petit ?

La validation n’est pas la pour "valider et attendre que ça progresse".

Looping est tout à fait libre de relancer le processus de validation, de me recontacter par mp, de rechercher un coauteur s’il le souhaite. Je n’ai jamais interdit de reprendre les discussions, nous sommes parvenus à un accord : je n’ai pas imposé de décision contraire à sa volonté.

Après je ne peux pas finir la rédaction à sa place ou le forcer à continuer. C’est du ressort de l’auteur ;)

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Oui bien sur mon idée s’adressait plus à l’auteur qu’à la validation. Je me disais juste que ça pourrait être bien que tt le monde puisse profiter de son travail et que si l’auteur à le temps/l’envi il pourra toujours compléter son tutos par la suite. Comme ça tout le monde serait gagnant. Je pense qu’un tuto publié imparfait mais de bonne qualité vaut mieux qu’un tuto parfait jamais publié. :p

Après l’auteur fait comme il le souhaite, je proposai juste ça comme ça.

Nous ne sommes que de bulles solitaires dans le grand bain moussant de la vie.

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Je pense qu’un tuto publié imparfait mais de bonne qualité vaut mieux qu’un tuto parfait jamais publié

La publication est l’étape finale, pas initiale ou intermédiaire. Les billets ont été mis en place pour palier mais on ne publiera jamais un tuto qui n’est pas dans un version finale.

Pour les longs tuto, il y a la possibilité de valider indépendamment les grandes parties. Mais c’est réservés aux contenus les plus longs, et je ne pense pas que ça puisse s’appliquer ici. Mais si Looping veut discuter de cette possibilité on peut le faire en interne.

Édité par Holosmos

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Salut Looping,

Qu’est-ce que devient ce tuto ? J’ai regardé, peut-être un peu trop vite, mais il semble très avancé. Qu’est-ce qu’il manque avant de pouvoir l’envoyer en validation à tes yeux ?

Hier, dans le parc, j’ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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