Exercice mécanique - cinématique du point

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour, Pour m'entraîner à comprendre le système de coordonnés cylindrique j'ai pris un exercice de base dans un livre de la BU mais je n'arrive pas à le résoudre. Énoncé : Soit un triangle OMA isocèle en M. On fait varier la position du point A à une vitesse constante Va selon la direction (OA). Soit Teta angle entre OM et OA. Exprimer la vitesse du point M dans une base locale en fonction de Téta et Va.

Alors j'ai fait mon petit schéma, j'ai gribouillé tout plein de truc mais je ne sais pas comment prendre le problème. Si vous pourriez me donner quelques pistes pour la résolution de ce problème, merci.

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Staff

Salut,

Il manque un truc dans ton énoncé. C'est comment on définit le mouvement de $M$ lorsque $A$ se déplace. À priori, on le garde isocèle, je suppose, déjà. Mais ça ne suffit pas pour définir la position de $M$. Parce qu'on pourrait très bien choisir de conserver le périmètre du triangle, ou bien conserver la hauteur liée à $M$ du triangle, ou encore autre chose.

Bref, il doit manquer un truc.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

Oui effectivement j'ai oublié : les longueurs OM et MA (noté l, utilisé pour une autre question) sont fixe. En gros on a un triangle isocèle OMA isocèle en M avec les longueurs OM et MA fixes.

J'ai fait mon schéma avec mon repère cartésien (l'origine doit être le point O du triangle, l'axe (Ox) c'est (OA) et l'axe (Oz) du coup perpendiculaire a (Ox) ). J'ai inclus Téta et p (la longueur du projeté du vecteur OM sur (Ox) pour avoir mon repéré cylindrique. Mais après je sais pas quoi faire. Image utilisateur

Édité par anonyme

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Staff

Bon déjà, je vois pas tellement pourquoi tu parles de repère cylindrique alors que le problème est à deux dimensions spatiales. Bref.

Ensuite, on te demande la vitesse du point $M$. Du coup, il me semble que c'est plutôt la position du point $M$ qui nous intéresse ici. Et donc, je ne comprends pas pourquoi tu définis ton repère polaire avec le projeté plutôt que de te servir de $M$ directement (puisque c'est ce point qui nous intéresse). Cela dit, ce projeté est quand même intéressant. Une question que tu peux déjà te poser, c'est quelle est sa vitesse lorsqu'on déplace le point $A$ à une vitesse $v_A$ ?

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Auteur du sujet

Merci.

Oui, je devrais parler de repère polaire, c'est ça ?

Ben parce que je ne sais pas comment prendre le problème. Oui c'est mon but de trouver la vitesse de M lorsque on déplace le point A à une vitesse Va.

Du coup j'ai refait mon repère : l'axe (Op) à pour direction (OM) et l'axe (Oteta) perpendiculaire à (OM).

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Staff

Oui, je devrais parler de repère polaire, c'est ça ?

Oui.

Du coup j'ai refait mon repère : l'axe (Op) à pour direction (OM) et l'axe (Oteta) perpendiculaire à (OM).

Pour l'axe $(O\rho)$ ça me semble mieux. Que vaut $\rho_M$ ?

L'axe $(O\theta )$ ? Euh… $\theta$ est un angle (tu l'avais bien placé avant d'ailleurs), il n'a pas d'axe associé…

Pour ton problème, on te dit que l'on souhaite la vitesse de $M$ dans un repère polaire.

Comment on exprime une vitesse d'un point dans un repère polaire ? Si la question est trop difficile, comment on l'exprime déjà dans un repère cartésien à deux dimensions ? On fera le changement de repère après (c'est important de savoir le faire).

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Auteur du sujet

La longueur $ \rho m $, on parle bien du $\rho$ de ma première figure ? Si oui, il vaut $ r * cos(\theta) $

Ben comment devrais-je appeler cet axe du coup ?

On obtient la vitesse d'un point en dérivant le vecteur position (repéré polaire comme dans repère cartésien ?).

C'est la que je n'arrive plus à avancé.

Moi j'obtiens : $\vect(OM) = \rho cos(\theta) \vect(O\rho) + ?$

Mais ca me semble bizarre, enfaite je vois pas l'utiliser d'avoir deux repères je crois …

Édité par anonyme

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Staff

La longueur $ \rho m $, on parle bien du $\rho$ de ma première figure ? Si oui, il vaut $ r * cos(\theta) $

Ben… Non, j'ai pris le nouvel axe… Du coup, c'est ce que tu viens de noter $r$, qu'est-ce que ça vaut ? Même si ce n'est pas ce que je demandais, tu as la bonne longueur pour le projeté.

Ben comment devrais-je appeler cet axe du coup ?

Quel axe ?

On obtient la vitesse d'un point en dérivant le vecteur position (repéré polaire comme dans repère cartésien ?).

En dérivant le vecteur position par rapport au temps, tu obtiens le vecteur vitesse. Ici, on te demande sa norme je pense. Et par ailleurs, j'attendais du coup l'expression en fonction des variables de ton repère $(x,y)$ en cartésien et $(\rho,\theta)$ en polaire.

Moi j'obtiens : $\vect(OM) = \rho cos(\theta) \vect(O\rho) + ?$

(pour les vecteurs, c'est \vec, pas \vect) et par ailleurs, ce n'est pas ça, non, ou ça vient juste que je ne comprends pas du tout tes notations…

Mais ca me semble bizarre, enfaite je vois pas l'utiliser d'avoir deux repères je crois …

Jeekwiz

Je suppose que tu voulais dire "l'utilité" ? Si oui, ça va dépendre du genre de mouvement que tu étudies. Ici, tu as une rotation et comme $\rho_M$ est constant, tu décris l'évolution de ton système avec une seule variable $\theta$ au lieu de deux si tu utilisais un repère cartésien. C'est plus simple. De manière générale, quand tu as des rotations plutôt simples, il est souvent plus facile d'utiliser un repère polaire, et quand tu as plein d'objets dans tous les sens, utiliser un repère cartésien est plus pratique. Ça dépend des cas.

Mais en fait j'y pense, tu es en quelle classe là ? Tu as déjà vu les repères polaires ou pas ? Parce que ça sert à rien que je te pose des questions pour essayer de te guider si tu n'as pas la moindre idée de ce dont on parle…

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Auteur du sujet

Je suis en L1, on a déjà vu les repères polaire en terminale et on vient de le revoir en cette début d'année.

l'énoncé précis est : "Exprimer la vitesse $\vec v$ du point M en fonction de $\theta$ et $Va$.

Comment qu'est ce que ca vaut $r$ ? Si on associe les coordonnés (x; y) au point M, $ r = \sqrt(x² + y²) $

Édité par anonyme

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Staff

OK.

Je voulais dire, que vaut $r$ dans ce problème précis en fonction des données de l'énoncé.

Ensuite, pour la vitesse en $\theta$, j'imagine que le plus simple est que tu commences par répondre à cette question que j'avais posée au tout début :

Une question que tu peux déjà te poser, c'est quelle est la vitesse du projeté de $M$ lorsqu'on déplace le point $A$ à une vitesse $v_A$ ?

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Staff

Ben r vaut l :P

Très bien, du coup que vaut la vitesse radiale de ton objet ?

Ah mince j'avais pas lu le mot projeté de ta question. Intuitivement je dirais Va/2.

Jeekwiz

C'est mieux si tu peux le prouver, mais c'est déjà pas mal. Et avec ça, tu n'arrives pas à trouver la vitesse angulaire du point $M$ ?

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Staff

Le vitesse radiale est la vitesse associée à l'évolution temporelle du rayon, donc $\dfrac{\mathrm dr_M}{\mathrm dt}$. Tu m'as déjà dit que $r_M=\ell$, dérive ça par rapport au temps pour avoir ta réponse.

Édité par adri1

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L'axe $(O\theta )$ ? Euh… $\theta$ est un angle (tu l'avais bien placé avant d'ailleurs), il n'a pas d'axe associé…

adri1

Heu si si, il y a un axe "selon" $\theta$ habituellement appelé $\vec{e_{\theta}}$ ou $\hat{\theta}$ qui associé au vecteur $\vec{e_r}$ (ou $\vec{e_{\rho}}$) forme la base des coordonnées polaire.

Ben comment devrais-je appeler cet axe du coup ?

Jeekwiz

$\vec{e_{\theta}}$ ^^

@Jeekwiz:

Ne cherche pas une belle solution pure et élégante, elle ne l'est pas spécialement !

Si tu connais l'expression théorique de la vitesse selon $\vec{e_{\theta}}$ en fonction de $r$ et $\theta$ en base polaire le plus simple est d'exprimer r et $\theta$ (en fonction de se ce tu connais bien dans ton problème ) et tu injectes dans la formule théorique. (c'est la manière la plus simple)

Si tu ne connais pas l'expression théorique de la vitesse dans al base polaire alors un rappel sur la base polaire :

$\vec{OM} = r\vec{e_r}$ (par définition)
$\vec{V_M} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r \frac{d\vec{e_r}}{dt}$ ! (dérivée composé)

Je t'invite à lire ou relire un cours sur les bases polaires pour déterminer la valeur de \frac{\vec{e_r}{dt}

Tu pourras ensuite commencer l'exercice sur de bonne base (sans mauvais jeu de mot :p ) et on pourra plus facilement t’aiguiller :)

Édité par Vael

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Staff

Heu si si, il y a un axe "selon" $\theta$ habituellement appelé $\vec{e_{\theta}}$ ou $\hat{\theta}$ qui associé au vecteur $\vec{e_r}$ (ou $\vec{e_{\rho}}$) forme la base des coordonnées polaire. Source:Vael

Ça, c'est un vecteur de base pas un axe… :-° Les deux n'ont à peu près rien à voir.

Édité par adri1

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t'as raison…mais est-ce une raison pour au lieu de corriger "axe" par "vecteur de base" dire à l'op que cet axe n'existe pas et le laisser confus et sans réponse alors que c'est juste un problème de vocabulaire ? (et que ce qu'il voulait dire est très clair !)

Déjà de base jouer à ce petit jeu (celui de dire "non ca n'existe pas" sans explication ni rien) est rarement pédagogique mais avec quelqu'un qui en plus est très fébrile dans le domaine où il demande de l'aide c'est vraiment anti-productif.

'Fin bref…

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Auteur du sujet

Ben le vecteur vitesse du point M d'après le cours du livre serait :

$\vec{v} = \dot{\rho}\vec{e_{\rho}} + \rho \dot{\theta}\vec{e_{\theta}}$

Du coup j'ai repris $\rho$ pour r. Mais c'est ce $Va$ qui m'embete

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Staff

t'as raison…mais est-ce une raison pour au lieu de corriger "axe" par "vecteur de base" dire à l'op que cet axe n'existe pas et le laisser confus et sans réponse alors que c'est juste un problème de vocabulaire ? (et que ce qu'il voulait dire est très clair !)

Ce qu'il voulait dire n'avait rien de clair, surtout que ce n'était pas clair pour lui-même déjà. Quand on a quelqu'un qui est visiblement en train de pédaler dans la semoule, on évite de lui donner de fausses indications. Certes ne rien détailler, c'est pas terrible (je manquais de temps et de courage pour détailler), mais dire des trucs faux, c'est encore pire (surtout encore une fois quand on s'adresse à un débutant, le laisser dans le faux est bien pire que le laisser dans le doute)… :-°

Ben le vecteur vitesse du point M d'après le cours du livre serait…

Partons de ça. Du coup pour fixer les idées avec ce que je disais, la vitesse radiale, c'est $\dot\rho$ et la vitesse angulaire, $\rho\dot\theta$. Commençons par la vitesse radiale, tu m'as dit que $\rho=\ell$. Que vaut $\dot\rho$ (question déjà posée dans mon précédent message, mais tu as du passer à côté) ?

Pour la vitesse angulaire, tu m'as dit que la vitesse du projeté était de $\dfrac{v_A}2$. Ôn a déjà fait un pas vers la solution. Ce qui te manque, c'est, comment évolue l'angle quand tu déplaces le point $A$. Fait un schéma avec deux positions différentes de $A$ et regarde comment l'angle évolue.

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