Systèmes linéaires

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je dois déterminer la solution générale de ce système (si elle existe):

$$\left\{ \begin{gathered} x + 2y + u = - 1 \hfill \\ 2x + 3y + z + 4u = - 3 \hfill \\ x + 2z + 5u = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Comme j'ai 4 inconnues et seulement 3 équations, je sais déjà qu'on aura pas une solution unique mais quelque chose avec un ou plusieurs paramètres (ou aucune solution). Je ne vois pas trop comment paramétrer les choses et combien de paramètre(s) introduire.

A l'aide des opérations élémentaires sur la matrice augmentée, j'arrive à ceci:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&1&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&1&2&0 \\ 0&{ - 1}&1&2&{ - 1} \end{array}} \right]$$

NB: j'ai effectué à partir de la matrice augmentée ${L_3} \to {L_3} - {L_1}$ puis ${L_2} \to {L_2} - 2{L_1}$ et enfin ${L_3} \to \frac{1}{2}{L_3}$ Je vois pas trop ce qu'il m'arrive donc au niveau des lignes 2 et 3. C'est là que je suppose qu'il faut paramétrer (si on avait 3 équations et 3 inconnues le système serait tout simplement incompatible) mais je ne vois pas comment.

Merci! :)

Édité par ZDS_M

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Je ne sais pas ce que tu as fait alors j'ai tout refait. Déjà il faut encoder ton système linéaire sous forme matricielle:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}$$

(la dernière colonne est la partie augmentée)

Un coup de Gauss-Jordan (merci la calto, j'avais tellement la flemme) donne:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Et ça ça veut dire:

$$\left\{ \begin{gathered} x + 2z + 5u = 0 \hfill \\ y - z - 2u = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Je trouve pas du tout la même chose que toi là. Maintenant comme $0=0$ tu peux conclure en disant que tes 2 membres de gauche sont égaux et tu trouves une équation finale: $x - y + 3z + 7u = 0$

EDIT: Je sais où tu t'es planté, c'est l'étape $L_2 \leftarrow L_2 -2L_1$ on dirait.

Édité par anonyme

+1 -0

Ton système a une ligne inutile, tu as $2 L_2 = 3 L_1 + L_3$.

Et c'est ça qui explique pourquoi on trouve que 2 lignes non nulles avec Gauss-Jordan.

Quand à paramétrer, considères $x$ et $y$ comme les inconnues et $z$ et $u$ comme des paramètres tu auras tes solutions $x=-3-5u-2z$ et $y=2+2u+z$.

Freedom

Est-ce que c'est vraiment utile de paramétrer ? Si c'est pas demandé explicitement, donner l'équation que vérifie l'ensemble des solutions suffit.

Après, si comme Freedom t'avais vu avant la ligne inutile, tu aurais pu aller bien plus vite et suivre sa démarche.

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Auteur du sujet

Merci beaucoup pour votre aide. Comme j'ai pas le droit à la calculatrice lors des examens, je m'entraîne à jongler avec les matrices car ça demande de l'entraînement surtout que ça fait une semaine à peine que je les découvre :) J'ai refais encore une fois le calcul mais je ne trouve toujours rien qui aille dans le sens de la calculatrice et de votre réponse (qui est la bonne je suis d'accord!). Soit la matrice augmentée du système avec comme dernière colonne celle des termes indépendants.

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&1&{ - 1} \\ 2&3&1&4&{ - 3} \\ 1&0&2&5&{ - 3} \end{array}} \right] \sim \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&1&{ - 1} \\ 0&1&1&2&{ - 1} \\ 0&{ - 2}&2&4&{ - 2} \end{array}} \right] \sim \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&1&{ - 1} \\ 0&1&1&2&{ - 1} \\ 0&{ - 2}&0&0&0 \end{array}} \right]$$

Opérations dans l'ordre: ${L_3} \to {L_3} - {L_1}$ ${L_2} \to {L_2} - 2{L_1}$ ${L_2} \to \frac{1}{2}{L_2}$ et enfin ${L_3} \to {L_3} - {L_2}$

J'ai donc finalement:

$$\left\{ \begin{gathered} x + 2y + u = - 1 \hfill \\ z + 2u = - 1 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 - \alpha \hfill \\ z = - 1 - 2\alpha \hfill \\ u = \alpha \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.,\alpha \in \mathbb{R}$$

$S = \left\{ {( - 1 - \alpha ,0, - 1 - 2\alpha ,\alpha )\left| {\alpha \in \mathbb{R}} \right.} \right\}$

Après vos réponses, je comprends maintenant qu'il y a cette ligne inutile. Cependant, j'essaye de comprendre pourquoi ce que je fais est faux (est-ce encore de la distraction?! - j'ai relu deux fois).

Merci :)

Édité par ZDS_M

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Aabu a raison. C'est toujours la même erreur que tu fais. Après le calcul matriciel c'est très chiant et errogène (non y'a pas un seul r, j'ai horreur du calcul matriciel :D), donc il faut bien t'entraîner et ne pas aller trop vite. T'as pas le droit à la calto en examen mais rien ne t'empêche d'utiliser les fonctions matricielles de la calculatrice pour qu'elle fasse les étapes une par une (avec ma Ti Nspire c'est dans le menu matrice, row operations si je me souviens bien) pour vérifier tes calculs. Et là où ça coince dans ton cas c'est au passage de la première matrice à la deuxième, quand tu fais $3 -2*2$. C'est le genre d'erreur qu'on fait tout le temps quand on est fatigué, alors essaie de relire moins vite parce que tu les vois pas forcément.

+2 -0
Staff

Pas besoin d'une calculatrice pour vérifier. Il suffit de prendre les vecteurs de base qu'on trouve et de les essayer dans le système.

Btw, c'est quoi une matrice augmentée ?

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+1 -0
Staff

Je fais le coup de la barre aussi, je connais personne qui fait autrement.

Grimur

Perso, je connais personne qui fait ça tout court. o_O Quel est l'intérêt de cette écriture ? On peut faire des opérations intéressantes qu'une représentation tensorielle du genre $\mathbf{Ax}=\mathbf B$ ou une représentation "classique" en système ne permet pas ?

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+1 -0
Staff

Je trouve ça plus facile de bosser en matriciel que bosser sur le système, et j'ai pas encore fait les tenseurs donc …

Grimur

Euh… Dans le cas qui nous intéresse sans "matrice augmentée" et avec l'écriture que j'ai donné, les matrices sont des représentations de tenseurs, donc remplace "tensorielle" par "matricielle" si ça te dérange. Ce que je comprends pas, c'est l'intérêt de cette matrice augmentée.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

+0 -0
Staff

Ce que je comprends pas, c'est l'intérêt de cette matrice augmentée.

Tu peux tout déduire (image, noyau et déterminant) à partir de ça après un pivot de Gauss et en un minimum de place et de temps.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Tu peux tout déduire (image, noyau et déterminant) à partir de ça après un pivot de Gauss et en un minimum de place et de temps.

OK, merci. Donc c'est ce que je pensais, il n'y a qu'un intérêt calculatoire.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

Merci. Aucune idée s'il y a un intérêt calculatoire. J'applique uniquement la théorie expliquée par mon prof. J'ai du refaire 4 fois les calculs pour arriver à la bonne réponse ! Mais bon.. c'est la première fois que je réduisais une matrice en même temps :) Encore merci!

P.S. : l'algèbre linéaire c'est trop beau (sauf quand tu fais des fautes de calcul chiantes) par rapport à l'analyse <3

edit: par contre il y a une erreur dans la matrice échelonnée réduite (dans la première réponse à mon post) - le coefficient à la première ligne du vecteur des termes inhomogènes est -3 et non 0.

Édité par ZDS_M

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Staff

Merci. Aucune idée s'il y a un intérêt calculatoire. J'applique uniquement la théorie expliquée par mon prof. J'ai du refaire 4 fois les calculs pour arriver à la bonne réponse ! Mais bon.. c'est la première fois que je réduisais une matrice en même temps :) Encore merci!

C'est un peu idiot. Prends le temps de comprendre pourquoi ça marche et pourquoi c'est efficace …

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci. Aucune idée s'il y a un intérêt calculatoire. J'applique uniquement la théorie expliquée par mon prof. J'ai du refaire 4 fois les calculs pour arriver à la bonne réponse ! Mais bon.. c'est la première fois que je réduisais une matrice en même temps :) Encore merci!

C'est un peu idiot. Prends le temps de comprendre pourquoi ça marche et pourquoi c'est efficace …

Holosmos

J'aimerais vraiment mais alors là vraiment comprendre pourquoi mais ça va assez vite dans le supérieur donc on fait et on applique… :'(

edit: non mais je comprends ce que je fais… c'est juste que je fais ce que le prof enseigne et je n'ai pas le temps d'aller voir d'autres techniques si nécessaire en gros.

Édité par ZDS_M

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