Qu'est-ce qu'une onde ?

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Salut,

Je réponds ici à ce message.

Merci pour ta réponse.

L'hypothese sous-jacente (1) qui n'est pas verifiee en realite est que mon trajet entre mon chez moi et mon lieu de travail est un segment.

Ça ne me posait pas problème. Ce qui me posait problème était la mathématisation de cette suituation comme une onde.

Considere $f$ qui associe a une distance ma position sur le trajet ainsi que $\bar f$ qui associe a un temps ma position sur le trajet.

Donc une onde c'est deux fonctions ?

Sous cette hypothese, les points 2. et 3. ne changent pas (par definition pour 2. et par hypothese pour 3.). Par contre, il devient impossible de recuperer la longueur d'onde simplement. A supposer que mon trajet aller et retour soit une courbe quelconque (ce qui est le cas, et par ailleurs l'aller n'est pas le meme chemin que le retour), il faudra calculer la longueur de cette courbe, ce qui, sous l'hypothese de class C1 devient relativement facile.

Je voyais bien ton exemple comme un cas particulier de ça. Si j'ai bien compris, l'hypothèse (2) sert à avoir la bonne amplitude, mais au pire ce qui importe est juste sa périodicité (non ?).

Ce que je ne comprends pas, c'est qu'une onde est, d'après ce que je peux lire, une propriété locale de l'espace qui change au cours du temps (au moins, avec sans doute des contraintes en plus mais bref). Du coup, si on considère que notre espace est le segment [0,1] sur laquelle la personne fait ses allers-retours (pas grave que ce ne soit pas réaliste), la seule propriété valable que je vois est « la personne est ici ». C'est pas comme ça qu'il faut voir le truc ? (dans le cas du segment)

J'ai l'impression de tourner en rond mais bon, j'espère que ce n'est en réalité pas trop le cas.

Désolé si je suis lourd… (j'ai l'impression de ne faire qu'embêter les gens sur ce forum)

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Physiquement parlant, une onde est un transfert d'énergie sans déplacement de matière en moyenne. Localement, la matière va se déplacer un petit peu mais à la fin elle reviendra en position d'origine. A noter qu'il n'y a pas forcément de matière pour supporter une onde (cas de la lumière).

C'est donc un truc qui a des aspects à la fois temporel et spatial. On va chercher modéliser ca comme une fonction de $f(x,t)$. Pour la culture, pn peut montrer que toutes les ondes peuvent s'exprimer sous la forme $f(x,t) = G(x-ct)+H(x+ct)$, où $G$ et $H$ sont deux fonctions quelconques de $R$ dans $R$ deux fois dérivables, $x$ la variable d'espace, $t$ le temps et $c$ la vitesse de ton onde.

Travailler avec des ondes sur un segment, c'est faisable mais c'est plus compliqué que si tu travailles dans $R$ car ca implique des choses pas simples aux limites, ce qui fait que je suis pas fan de l'exemple de Höd.

Un bon exemple d'onde, ce sont les vagues. Elles viennent frapper la plage sans que l'eau ne de déplace, la distance entre 2 sommets de vague est la longueur d'onde, la temps entre 2 impacts est la période.

Édité par Davidbrcz

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Auteur du sujet

Physiquement parlant, une onde est un transfert d'énergie sans déplacement de matière en moyenne.

Ça ne me parle que très très moyennement, mais je n'ai jamais trouvé mieux donc bon…

Pour la culture, pn peut montrer que toutes les ondes peuvent s'exprimer sous la forme f(x,t)=G(x−ct)+H(x+ct), où G et H sont deux fonctions quelconques de R dans R deux fois dérivables, x la variable d'espace, t le temps et c la vitesse de ton onde.

Ok, donc en fait, si je comprends bien, c'est la somme d'ondes « simples » allant dans les deux directions possibles. Après, je ne sais pas de quoi on part pour montrer ça… (j'imagine qu'il faut des contraintes un peu plus précises que ta première phrase, non ?)

Bon, je vois qu'il s'agit d'une équa diff et je ne sais pas d'où elle sort (j'ai pas trop envie de m'y intéresser pour le moment, je dois reprendre les bases en physique, mais ok).

Travailler avec des ondes sur un segment, c'est faisable mais c'est plus compliqué que si tu travailles dans R car ca implique des choses pas simples aux limites, ce qui fait que je suis pas fan de l'exemple de Höd.

Du coup, je ne vois toujours pas en quoi il s'agit d'une onde, mais je pense que je vais laisser tomber pour le moment, je reprendrai un autre jour.

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Auteur du sujet

Bon, je vois qu'il s'agit d'une équa diff et je ne sais pas d'où elle sort (j'ai pas trop envie de m'y intéresser pour le moment, je dois reprendre les bases en physique, mais ok).

Des équations de Maxwell !

pierre_24

On a dû nous en parler l'an dernier en électromagnétisme, mais je n'ai rien retenu (en même temps on a dû nous balancer l'équation sans rien expliquer, et moi je me suis dit que je verrai plus tard). Il y a surement des liens mais c'est de ça que je parlais : https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

edit : ah mince, j'ai lu trop vite ton message (il était trop court ;) ). Mais les équations de Maxwell ne concernent pas que les champs électromagnétiques ?

edit bis : je comprends en très très gros à quoi correspond cette « wave equation » (l'accélaration va être proportionnelle à la manière dont le truc est « courbé », ce qui va tirer vers le haut ou le bas (le coefficient linéaire s'annule des deux côtés)), mais je ne sais pas trop quand cette interprétation fait sens. Bref bref.

edit ter : Mais en fait, du coup, les ondes sont un phénomène beaucoup plus spécifique que je croyais. Déjà, une fonction de ℝ×ℝ dans 2 ne peut pas être une onde, il faut des dérivées, etc. D'après ce que je comprends, les ondes servent à décrire des phénomènes qui se propagent avec chaque point qui « tire » sur les points voisins, c'est ça ?

Édité par Idéophage

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Pour la faire courte mais bonne :

Un jour un gars (d'Alembert) s’intéresse à la propagation de la perturbation qui traverse une corde que l'on excite (on fait bouger un coté). Il décrit son problème par un modèle physique qui est une equa dif connu sous le nom d’équation d'Alembert.

Elle est résolu. On obtient un certain type de solution. On appelle ces solutions "ondes". (Ils auraient pu appeler ça "schroplouf" mais ils ont préféré "ondes")

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Auteur du sujet

(Ils auraient pu appeler ça "schroplouf" mais ils ont préféré "ondes")

Je pense que c'est pas ça qui m'importe. Ce qui m'importe est ce que recouvre cette notion d'onde. Ça se retrouve à plusieurs endroit, donc j'essaie de voir ce que c'est de manière plus générale. On peut dire ça de tout : « on appelle tel truc parce que c'est comme ça ». Seulement, l'ensemble des trucs que recouvrent les mots ne sont pas choisis au hasard, j'espère (tiens, eh bien je vais appeler « livre » tous les livres sauf celui-ci).

edit : je suis en train de lire d'autres trucs comme ça, et je suis en train de comprendre que c'est pas une notion précise et mathématiquement définissable.

edit bis : Pour en revenir à l'exemple de Höd, je vois que « localement », cela s'exprime de la forme $f(x-vt)$, donc informellement c'est une onde et je vois en très gros pour la longueur d'onde, ça me suffit.

Édité par Idéophage

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Auteur du sujet

J'ai demandé à mon prof de physique stat et il m'a dit que le truc de Höd n'est pas une onde (en précisant le contexte dans lequel c'était donné, mais peut-être qu'il a mal compris un truc). Mais je vois maintenant à peu près pour la longueur d'onde (même si c'est limite, franchement une fonction périodique sur ℝ/ℤ avec pour période 1…), donc j'ai plus de problème (toujours en considérant la fonction qui à une distance parcourue sur le chemin (une boucle) et un temps associe si la personne est là ou pas, même si Höd formalise ça autrement, mais j'ai pas compris son truc).

PS : J'ai pas super bien répondu au message de Vael, désolé, mais il ne répond pas du tout à ma question, c'est pour ça. La question du titre, « Qu'est-ce qu'une onde ? » est une conséquence de ma non-compréhension de l'exemple de Höd. Ce que vous me dites et ce que je vois par ailleurs ne fait que préciser ce que j'ai en tête en excluant des cas (mais d'ailleurs, ça m'a été bénéfique), sans inclure ce qui me pose problème.

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Je ne suis pas convaincu qu'il y ai un cadre global à ce qu'est une onde, ni physiquement ni mathématiquement. On a une onde aussi bien dans le cadre de l'équation de d'Alembert que dans le cas de celle de Schrödinger, pourtant il y a peu de points communs, si ce n'est que ce sont des équations différentielles sur une quantité $\psi(\vec{x},t)$ (et encore, je ne suis pas convaincu que le critère équation différentielle soit une nécessité).

Les arguments que j'ai vu avancer dans un bouquin de mécanique quantique (Schiff), pour la construction de l'équation de Schrödinger, sont :

  • linéarité
  • pas de paramètres caractéristiques du mouvement de l'onde dans les paramètres de l'équation d'onde

L'objectif étant d'assurer la possibilité de superposer des ondes pour produire des interférences.

Édité par Freedom

Auteur du sujet

Je ne suis pas convaincu qu'il y ai un cadre global à ce qu'est une onde, ni physiquement ni mathématiquement.

C'est ce que j'ai vu à d'autres endroits, oui.

J'avais aussi vu je ne sais plus où qu'il devait y avoir des solutions de la forme « un machin "constant" mais qui se déplace dans l'espace » (par exemple $f(x-vt)$ dans le cas 1d), en plus de la linéarité.

Par contre, je ne suis pas certain de comprendre « pas de paramètres caractéristiques du mouvement de l'onde dans les paramètres de l'équation d'onde ». Dans le cas 1d, dans l'équation de d'Alembert, on a la vitesse qui est la même pour toute onde se propageant dans le milieu. Ce que tu entends pas « paramètre caractéristique du mouvement de l'onde », ce serait la direction de l'onde, en une dimension ?

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Par contre, je ne suis pas certain de comprendre « pas de paramètres caractéristiques du mouvement de l'onde dans les paramètres de l'équation d'onde ». Dans le cas 1d, dans l'équation de d'Alembert, on a la vitesse qui est la même pour toute onde se propageant dans le milieu. Ce que tu entends pas « paramètre caractéristique du mouvement de l'onde », ce serait la direction de l'onde, en une dimension ?

Idéophage

Pour situer, l'équation de d'Alembert est :

$\nabla^2\psi-\frac{1}{c^2}\partial_t^2\psi=0$

$c$ est une constante de la problématique étudiée mais pas de la solution, comme le serait la masse ou la charge pour l'étude d'une particule. Les paramètres caractéristiques du mouvement de l'onde ça pourrait être les vitesses de groupe ou de phase, la fréquence, la longueur d'onde.

J'anticipe une éventuelle remarque, on peut trouver une version de cette équation sous la forme :

$\nabla^2\psi-\frac{n^2}{c^2}\partial_t^2\psi=0$

$n(\vec{x})$ est caractéristique du milieu et dépend à priori d'une fréquence, ce n'est cependant pas en opposition puisqu'on peut l'écrire sous la forme :

$\nabla^2\psi-\frac{1}{c^2}\partial_t^2[R\star_t\psi]=0$

Qui répond bien aux critères. $R(\vec{x},t)$ est ici à voir comme la réponse caractéristique du milieu (liée à la susceptibilité électrique $\chi$ qu'on peut relier à $n^2$). Ce n'est cependant pas une forme très utile :

  • soit on sait autour de quel fréquence on travail et l'on peut fixer $n(\vec{x})$
  • soit on utilise la polarisation qui tient compte de la susceptibilité électrique, et les équations qui vont avec

Notons aussi que la linéarité n'est pas une fin en soi dans tout les cas, que ce soit en électromagnétique ou en mécanique quantique, il existe des effets non linéaires.

Édité par Freedom

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