Ensemble quotient

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'ai vu en cours la notion d'ensemble quotient mais c'est pas très clair (voir pas du tout). Prenons un exemple concret: $\Re = \left\{ {\left. {(x;y) \in {E^2}:x = y} \right\}} \right.$ Je dois d'abord dire si c'est une relation d'équivalence et puis donner son ensemble quotient ${E_{/ \sim }}$ . Pas de problèmes pour montrer que c'est une relation d'équivalence. Les trois propriétés (RST) sont bien vérifiées. Cependant, je ne comprend pas du tout ce qu'est l'ensemble quotient… Il me semble que c'est un ensemble bien plus petit pour faciliter les choses mais je ne vois pas bien :p

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L'idée de l'ensemble quotient c'est de partir de ton ensemble de départ, effectuer des sous-ensembles où tout les éléments d'un sous-ensemble sont équivalents (par ta relation), et où deux éléments de deux sous-ensemble distinct ne sont pas équivalent. Ces sous-ensemble sont les classes d'équivalence de ta relation.

Ton ensemble quotient c'est l'ensemble de ces sous-ensemble.

Un exemple est celui de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, tu considères $\mathbb{Z}$ et la relation de congruence modulo $n$. Dans ce cas ton espace quotient est $\{E_k=\{k+l*n,l\in\mathbb{Z}\},k\in[0,n-1]\}$, l'un des intérêts est que tu peux définir une opération $+$ qui est la base du calcul modulaire. Avec $a\in E_i,b\in E_j$ tu auras $a+b\in E_{i+j}$ (où $i+j-n$ si $i+j\geq n$). Ce qui permet identifier chaque classe d'équivalence à n'importe lequel de ces éléments.

Édité par Freedom

Auteur du sujet

Merci! J'avais déjà vu justement cet exemple sur YouTube (exo7maths) :p Donc dans mon exemple, ce serait

$${E_{/ \sim }} = \left\{ {\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] = \left[\kern-0.15em\left[ y \right]\kern-0.15em\right]:(x;y) \in {E^2}} \right\}$$
ou

$${E_{/ \sim }} = \left\{ {\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right]:x \in E} \right\}$$

Désolé si ça peut sembler tout con comme question mais je trouve ça assez abstrait :p

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Auteur du sujet

L'énoncé complet: Soit E un ensemble. Montrer que la relation suivante $R = \left\{ {(x;y) \in {E^2}:x = y\left. {} \right\}} \right.$

est une relation d'équivalence et déterminer son ensemble quotient ${E_{/ \sim }}$

En gros c'est presque ce que j'ai mis en haut :p

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L'intérêt de cette relation m'échappe totalement par contre…

Ce serait très moche de dire que la relation d'équivalence la plus fine n'est pas une relation d'équivalence, quand même… Ça n'a pas à être utile ou inutile, c'est juste que ça respecte une certaine harmonie. C'est un peu comme $0$, la fonction identité, le groupe à un élément, etc. (ou encore la relation la plus grossière qui confond tout, et on peut définir des opérations d'« union » de relations d'équivalences ou d'« intersections » avec ces deux relations comme éléments neutres, comme l'ensemble vide ou l'univers considéré pour les unions et intersections ensemblistes)

edit : @ZDS_M Vois-tu le lien avec l'idée de partition ? Sinon, concernant les deux propositions que tu as faites avant la réponse de Freedom, je ne vois pas ce que la première signifie et la deuxième est toujours vérifiée (j'imagine que $[x]$ (avec les doubles crochets) dénote la classe d'équivalence de $x$). Il aurait fallu voir ce que vaut $[x]$ dans ton cas particulier, par exemple. Le vois-tu maintenant ?

Édité par Idéophage

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Auteur du sujet

Merci ! C'est sûrement pour nous faire comprendre les choses (on vient de commencer) :) @idéophage , c'est un peu plus clair mais je pense que ça viendra à force d'en faire :)

Édité par ZDS_M

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L'intérêt de cette relation m'échappe totalement par contre…

Ce serait très moche de dire que la relation d'équivalence la plus fine n'est pas une relation d'équivalence, quand même…

Idéophage

Sauf que je n'ai pas dit ça, juste que définir une relation qui est identique à celle définit par $=$ m'échappe. C'est comme si pour étudier l’addition tu disais, "je vais étudier $\circ$ définit par $a\circ b=a+b$, c'est inutile, tu étudies $+$ tout simplement. L'énoncé aurait juste dit "montrer que $=$ est une relation d'équivalence" me générait un peu moins. (Idéalement en définissant $=$ avant …).

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

L'idée de former l'ensemble quotient d'un ensemble $E$ par une relation d'équivalence $\cal{R}$, c'est de regrouper ensemble les éléments qui se comportent de la même manière du point de vue de cette relation. Sous ce point de vue, chaque classe d'équivalence est maintenant considérée comme un élément à part entière de ce nouvel ensemble, l'ensemble quotient.

Effectivement, typiquement, l'ensemble quotient sera plus petit que l'ensemble de départ (il y a d'ailleurs une surjection naturelle de $E$ dans $E/\cal{R}$). Souvent, on pourra transmettre des lois qui existent sur $E$ à $E/\cal{R}$ (p.ex. les opérations élémentaires de $\mathbb{Z}$ sont transmises naturellement à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$), justement parce que les éléments d'une même classe d'équivalence se ressemblent (p.ex. ils sont congrus modulo $n$).

Dans la pratique, on s'en sert souvent pour créer de nouveaux ensembles, ou pour contourner certaines difficultés. Deux exemples :

  • Je considère l'ensemble des crayons de couleur qui sont dans ma trousse. Ils sont a priori tous distincts. Si maintenant je définis la relation d'équivalence sur cet ensemble « avoir la même couleur » (c'est bien réflexif, symétrique et transitif), je forme un nouvel ensemble abstrait dont les éléments sont les classes d'équivalence pour ma relation. Chaque classe correspond ici à l'ensemble des crayons d'une même couleur (et j'obtiens au passage une partition de mes crayons selon leur couleur). Je vais alors pouvoir définir des opérations non plus sur les crayons individuellement, mais sur l'ensemble des crayons d'une même couleur. C'est parfois pratique. On dit alors qu'on « passe au quotient ».
  • Plus abstrait : une construction possible de l'ensemble $\mathbb{Q}$ à partir de $\mathbb{Z}$ consiste à prendre l'ensemble des couples de $\mathbb{Z}\times\mathbb{N^*}$, à définir une relation d'équivalence sur cet ensemble (ici p.ex. $(a,b)\cal{R}(c,d)$ lorsque $ad-bc=0$), et à prendre le quotient de tout ça. Dans ces conditions, on peut écrire l'égalité « usuelle » de deux fractions, et les lois se transmettent aussi correctement. On dit alors que la fraction $\frac{a}{b}$ vaut la classe de $(a,b)$ pour notre relation d'équivalence ; l'égalité, la somme, le produit, etc. de deux fractions sont donc les opérations qu'on a définies sur l'ensemble quotient. Ici, passer au quotient permet de dire que $\frac{2}{3}$ et $\frac{4}{6}$ sont égales (parce qu'elles ont la même classe).

ÉDIT : Quelques messages entre temps, désolé pour les éventuelles redites.

Édité par Lucas-84

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

@Freedom : Ah, ok, désolé. (enfin, pour la définition de =, je ne pense pas qu'ils voient ce genre de question dans leur cours)

@ZDS_M : Oui, c'était pour vous montrer.

En physique, je crois avoir vu une « définition » de la température en partant du constat que deux corps en équilibre thermique avec un troisième sont en équilibre thermiques entre eux. Du coup « être en équilibre thermique » est une relation d'équivalence. Quand on quotiente les corps par cette relation, on se retrouve avec des sacs et dans chaque sac des objets tous en équilibre thermique entre eux, qui ont donc la même température, et on pose des étiquettes sur les sacs que l'on appelle température (avec des trucs en plus, c'est pas exact, bref, c'est pour l'exemple).

Édité par Idéophage

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L'intérêt de cette relation m'échappe totalement par contre…

Freedom

L'exemple le plus parlant des relations d'equivalence qui redefinissent la notation usuelle de l'egalite est celui des espaces de Lebegues. Mais c'est du pur sucre syntaxique ou de l'oubli heureux pour alleger les notations.

Je ne pense pas te l'apprendre mais cela donnera un exemple supplementaire, sur des espaces de fonctions, pour d'autres lecteurs dont l'OP.

On note $L^p$ les fonctions $p$-integrable au sens de Lebesgue, c'est a dire que $f \in L^p \Leftrightarrow \int |f^p| < +\infty$. On parle d'espace de Lebesgues.

On construit l'espace vectoriel $\mathcal {L}^p$ definit comme l'espace quotient $L^p$ pour la relation d'equivalence d'egalite presque partout.

Autrement dit, $f$ et $g$ sont egales dans $\mathcal {L}^p$ si $\int f^p = \int g^p$ au sens de Lebesgues dans le corps sur lequel est construit l'espace vectoriel $\mathcal {L}^p$.

On peut faire plusieures remarques:

  • On confond souvent $\mathcal {L}^p$ et ${L}^p$ a l'usage par commodite et parce que la distinction n'est pas fondamentale (d'experience on appelle meme le premier espace de Lebesgue alors que techniquement on devrait a minima dire espace de Lebesgue quotiente).
  • L'usage du simple signe = est abusif lorsque l'on travaille dans $\mathcal {L}^p$ car les fonctions que l'on utilise sont des representants de classes. A ce titre on devrait eventuellement utiliser ~ pour marquer le fait qu'il s'agit bien d'une equivalence et pas et pas d'une egalite de valeur (les fonctions d'une meme classes n'etant pas partout egales en valeur). Comme l'on dispose d'un nom pour cette relation, on ferait bien de l'utiliser (ce qui est fait dans beaucoup d'autres contextes notamment de convergence, mais on l'oubli tres souvent pour l'egalite), a savoir 'egalite presque partout'. Donc eventuellement on pourrait ecrire dans $\mathcal {L}^p$ que $f \tilde{} g$ ou $f = g, \text{p.p.}$ (presque partout, $\text{a.e.}$ pour almost everywhere en anglais) et qui traduit exactement le fait que $\int f^p = \int g^p$.

Evidemment, cela vaut pour tous le espaces fonctionnels construit sur les espaces de Lebesgue comme les espaces de Sobolev.

Édité par KFC

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L'intérêt de cette relation m'échappe totalement par contre…

Freedom

L'exemple le plus parlant des relations d'equivalence qui redefinissent la notation usuelle de l'egalite est celui des espaces de Lebegues. Mais c'est du pur sucre syntaxique ou de l'oubli heureux pour alleger les notations.

Höd

Je suis d'accord avec toi que c'est sans doute un des exemples les plus criants qui montre à quoi servent les relations d'équivalence en pratique. Mais à donner comme exemple à quelqu'un qui est en contact pour la première fois avec les ensembles quotients, ça me semble super violent. :D

Je vois que l'op a déjà obtenu sa réponse, mais j'apporte quand même ma contribution avec un autre exemple d'ensemble quotient. Je vais proposer un exemple plus géométrique, donc plus visuel.

Considérons le plan $\mathbb R^2$ standard, et $E$ l'ensemble des droites du plan. Sur $E$, la relation $R$ définie par « être parallèle » est une relation d'équivalence : une droite est parallèle à elle-même, la réflexivité est évidente et si $d, d', d''$ sont trois droites avec $d$ parallèle à $d'$ et $d'$ parallèle à $d''$, alors $d$ est parallèle à $d''$. On peut donc construire l'ensemble quotient $E/R$. Dans cet ensemble, deux droites parallèles sont indistinguables et seront considérées comme le même objet. Avec ce procédé, on ramène l'étude de l'ensemble $E$ à l'étude de l'ensemble des droites passant par l'origine. N'importe quel élément $d$ de $E$ est en effet parallèle à une (unique !) droite passant par l'origine.

En un sens, on a « simplifié » l'ensemble $E$ pour se ramener à un ensemble plus petit mais qui lui ressemble. Moralement, l'idée est que dans un ensemble « gros », il y a des objets qui ont exactement le même rôle, et donc il est inutile d'étudier chaque objet individuellement.

Une petite remarque annexe juste en passant : si tu es familier avec les espaces vectoriels et les espaces affines, tu remarqueras que le lien est assez étroit avec ce que je viens d'exposer.

Staff

Une autre utilité peut résider dans le fait de se débarrasser de certains éléments « embêtants » d'un ensemble.

Par exemple, je me donne une application linéaire $f : E \to F$. A priori, elle n'est pas injective mais pourtant, pour une raison ou une autre, j'ai envie de n'étudier que des propriétés sur les applications injectives.

Une manière naturelle de « rendre » injective une application linéaire est de la faire passer au quotient de $E/{\rm Ker}(f)$. On obtient une application $\tilde{f} : E/{\rm Ker}(f) \to F$ qui est injective et encore linéaire (le quotient est un espace vectoriel).

C'est un exemple un peu bête et qui peut paraître inutile mais se généralise.

Si on considère un groupe $G$ et un sous-groupe distingué $H$, on peut quotienter $G$ par $H$ et ça nous donne encore un groupe. C'est donc une manière générique d'étudier $G$ sans se préoccuper des éléments de $H$ (qui sont envoyés sur l'élément neutre quand on passe au quotient).

Autre exemple, dans l'étude des solutions à une équa diff. Tu vois par exemple par un argument de Cauchy-Lipschtiz que localement, chaque condition initiale définit univoquement une orbite. Toi tu aimerais voir quelles sont les points qui ne sont pas sur une même orbite, pour cela tu peux quotienter l'ensemble de tes points par le groupe des difféomorphismes locaux qui définissent le flot de ton équa diff. Ça te donne précisément les points qui ne sont pas sur une même orbite.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Pour mon exemple, c'est vu par les deux, ingenieurs et mathematiciens.
Les espaces de Lebesgue c'est enseigne a niveau L3.

Pour l'exemple de c_pages, c'est du niveau L1, et celui de Holosmos, c'est enseigne dans un bon cours d'EDO, donc a priori pas avant L3.

Édité par KFC

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Auteur du sujet

Oui, c'est ça en BA1 (tronc commun EPFL). C'est beaucoup plus clair maintenant. J'ai aussi regardé les vidéos sur les ensembles de Dimitri Gallois sur YouTube qui m'a permis d'encore mieux comprendre :) J'ai pas trop compris l'exemple d'Holosmos mais j'imagine que je le verrai (j'ai juste vu qu'on allait parler de Ker d'ici quelques semaines en Algèbre Linéaire).

Encore merci! :D

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