Bloqué sur les limites et fonctions

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Auteur du sujet

Bonsoir,

J'ai pour question de déterminer la limite de plusieurs suites. Mais il y en a une qui me bloque :

$$ u_{n} = \frac{-3n}{(n-1)^{2}} $$
Je sais que c'est une forme indéfinie, car ça tend vers l'infini en haut et vers moins l'infini au dénominateur. Seulement, comment factoriser ça ? Elle me semble déjà factorisée non ?

Deuxième question, à l'exercice suivant on me demande de Résoudre f(x) = x. Sachant que :

$$ f(x) = 5 - \frac{16}{x+3} $$
dois-je poser :
$$ 5 - \frac{16}{x+3} = x $$

Ce que je ne comprend surtout pas, c'est qu'est ce que l'on me demande dans cet exercice ?

Merci de vos solutions.

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Pour la limite, il faut factoriser les plus gros coefficients. On a :

$$u_n=-\frac{3n}{n^2-2n+1}$$

Il faut donc factoriser en haut par $n$ et en bas par $n^2$. À partir de là, ça se simplifie grandement.

La résolution d’équation pourrait se faire en multipliant chaque côté par $x+3$. Ça devrait se réduire à une simple équation du second degré.

Édité par TD

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Bonsoir,

J'ai pour question de déterminer la limite de plusieurs suites. Mais il y en a une qui me bloque :

$$ u_{n} = \frac{-3n}{(n-1)^{2}} $$
Je sais que c'est une forme indéfinie, car ça tend vers l'infini en haut et vers moins l'infini au dénominateur. Seulement, comment factoriser ça ? Elle me semble déjà factorisée non ?

J'ai mis en gras la partie incorrecte. :-° Le dénominateur ne tend surtout pas vers $-\infty$, étant donné que c'est un nombre strictement positif : quel que soit $n\in\mathbb N\setminus\{1\}, (n-1)^2>0$, précisément parce que c'est un carré. Comme $n-1$ tend vers $+\infty$ lorsque $n\to+\infty$, que déduis-tu sur la limite de $(n-1)^2$ ?

Pour la suite, effectivement, l'idée est pour ce genre de choses, de chercher le terme de plus haut degré, et de factoriser par ce terme au numérateur et au dénominateur. Ici, typiquement, on a quelque chose de degré 1 en haut et de degré 2 en bas, donc on va chercher à factoriser par $n^2$.

Deuxième question, à l'exercice suivant on me demande de Résoudre f(x) = x. Sachant que :

$$ f(x) = 5 - \frac{16}{x+3} $$
dois-je poser :
$$ 5 - \frac{16}{x+3} = x $$

Ce que je ne comprend surtout pas, c'est qu'est ce que l'on me demande dans cet exercice ?

Wizix

En effet, ton intuition est la bonne — mais ce n'est pas très bien dit, la formulation « je dois poser » n'est pas très habile, j'y reviens dans un instant — après avoir répondu à la question : « qu'est-ce qu'on me demande ». ;)

L'objectif est de résoudre l'équation $f(x) = x$ d'inconnue $x$. Autrement dit, on cherche tous les réels $x$ qui sont égaux à leur image par $f$. Tu as donc bien vu en remplaçant $f$ par son expression pour écrire $5 - \frac{16}{x+3} = x$. Ton erreur, si l'on peut dire, a été d'écrire que tu poses $f(x) = x$. Or, l'usage de l'expression « on pose blablabla » en maths indique que l'on définit un objet. Par exemple, on pourrait dire : « Soit $P(x) = ax^2+bx+c$ une fonction polynôme du second degré. On pose $\Delta = b^2-4ac$, c'est le discriminant de $P$ ».

Or, ici, tu ne définis pas $x$ comme étant égal à $f(x)$ ; tu cherches les réels $x$ qui satisfont $f(x) = x$. Ce n'est pas exactement la même chose. D'ailleurs, la preuve : en écrivant cette égalité, tu n'as aucune information précise du $x$, bref, tu ne l'as pas déterminé. Pour trouver la ou les valeurs de $x$, il faut précisément résoudre l'équation : c'est un calcul.

Édité par c_pages

Auteur du sujet

Merci, ça fonctionne bien. Voici ce que j'obtiens :

$$ u_{n} = -\frac{3}{n(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}})} $$
Et donc :
$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} u_{n} = 0$$

J'ai donc continué mon exercice et je tombe sur cette suite (il y en a une bonne vingtaine à faire, mais je pense que c'est la dernière sur laquelle je vais bloquer) :

$$ u_{n} = \frac{5-3n^2}{\sqrt{n} + 2n} \\ u_{n} = \frac{n(\frac{5}{n^2} - 3)}{\frac{\sqrt{n}}{n} + 2} $$
Mais du coup, je me retrouve encore avec une forme indéterminé au dénominateur (la racine de n tend vers l'infini et n aussi). Donc je pense qu'il y a quelque chose que je n'ai pas vu quelque part, mais je n'arrive pas à deviner où.

Et pour la fonction, c'est bien ce que je pensais, il faut la résoudre comme une équation.

Merci de ton aide.

EDIT : Je répond à @c_pages.
Oups, en effet, je suis allé un peu trop vite, le dénominateur tend vers l'infini. Mais il y a quelque chose qui me titille avec les limites… Pourquoi $ +\infty $ ou $ -\infty * 0 $ est une forme indéterminé ? Tout nombre multiplié par 0 est égal à 0 non ?

Conclusion, je ne dois plus dire Je pose. Il me semblait l'avoir entendu de nombreuse fois pour une équation, ou toute sorte de calcul. ;)

Édité par Wizix

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Comment simplifies-tu $\frac{\sqrt n}{n}$.

Déjà, $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres réels. C'est pour cette raison que l'on note $\marbb R = ]-\infty, +\infty[$ avec des crochets ouverts.

L'idée est qu'il peut se produit des phénomènes d'oscillations. Il y a une sorte de compétition entre les termes qui tendent vers l'infini et ceux qui tendent vers 0. Pour dire les choses informellement — mais correctes quand même sur le fond —, c'est le terme qui tend le plus vite vers sa valeur qui déterminera la limite du produit. Si le numérateur tend vers l'infini à la vitesse de $n^2$ et le dénominateur tend vers zéro à la vitesse de $n$, le carré va largement dépasser $n$ à partir d'un certain rang, de sorte que $\frac{n^2}{n}$ tendra vers l'infini.

Pour la racine, il y a une astuce. Tout d’abord, soient $P_1$ un polynôme de degré $n_1$ et $P_2$ un polynôme de degré $n_2$ et $f$ la fonction telle que $\forall x\in\mathbf{R}$ a :

$$f(x)=\frac{P_1(x)}{P_2(x)}=\frac{x^{n_1}(...)}{x^{n_2}(...)}$$

Si $n_1>n_2$, alors $f$ tend vers l’infini (positif ou négatif), et si $n_1<n_2$ alors $f$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l’infini.

Or, on peut mettre la racine carrée sous la forme d’une puissance de $x$ : formellement, on a $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$. En reprenant ce que je viens de dire, tu peux déduire la limite de $\sqrt n/n$.

« LaTeX is to a book what a set of blueprints is to a building » (Paul Dulaney) | Mon planétaire

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Auteur du sujet

D'accord, donc il faut que je continue en multipliant par la racine au nominateur et dénominateur. Je ne suis pas allé assez loin, encore une fois.

Je vois à peu près ce que tu veux dire, sauf pour le concept de compétition entre les termes, mais j'aurais tout le temps de voir ça plus tard j'imagine. :)

Effectivement, on a vu en cours que c'est le plus haut degré qui donne la limite, mais on a pas le droit d'utiliser ça… Mais c'est vrai que ce serait bien plus simple de dire que la racine de n c'est $ n^{\frac{1}{2}} $.

Merci encore pour votre aide !

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