Combinaisons linéaires

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J’ai encore quelques questions sur les combinaisons linéaires et la notion d’engendrement. J'avais déjà posé des questions dessus mais j'ai re-bossé et voilà mes dernières questions (pour le moment :p ). Je veux surtout être certain d’avoir bien compris car je pense que ces notions vont suivre partout dans le cours sur les espaces vectoriels par la suite.

Je pose deux questions dans un sujet car elles sont intimement liées.

1. Je dois déterminer la valeur du paramètre “h” (ou les valeurs) pour que b soit dans le plan engendré a1 et a2.

$$\overrightarrow b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ { - 5} \\ h \end{array}} \right]$$

$$\overrightarrow {{a_1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 3 \\ { - 1} \end{array}} \right]$$

$$\overrightarrow {{a_2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5} \\ { - 8} \\ 2 \end{array}} \right]$$

Si je traduit la question, on me demande la valeur de h tel que $\overrightarrow b \in Vect\left\{ {\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} } \right\}$ (je suis pas sûr justement)

En d’autres termes, il faut que ce système soit consistant

$$\left\{ \begin{gathered} x - 5y + 3z = 0 \hfill \\ 3x - 8y - 5z = 0 \hfill \\ - x + 2y + hz = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Je trouve que c’est le cas pour h = 3.

De plus, on est bien d’accord que les deux vecteurs a1 et a2 engendrent ${\mathbb{R}^2}$ ?

Au final on a bien montré que pour h = 3, b est combinaison linéaire de a1 et a2 ?

Si on m’avait demandé pour quelle(s) valeur(s) de h, les vecteurs a1, a2 et b engendrent ${\mathbb{R}^3}$ ça aurait été pour $h \ne 3$ ?

2. Dans une autre question on me demande si b est une combinaison linéaire de a1, a2 et a3. Je ne vais pas écrire tous les vecteurs (ils sont différents de l’ex. 1) mais pour le principe quand je vais écrire mon système à 3 inconnues et que je le résous et que je tombe sur une ligne nulle (—> variable libre —> infinité de solutions), est-ce que c’est possible ou bien il faut absolument une solution unique ?

Désolé pour ce long post mais j’essaye de vraiment bien assimiler la matière :) Merci d’avance!

Édité par ZDS_M

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Si je traduis la question (…) => Oui.

(…) Système consistant => Non. D'ailleurs il l'est nécessairement, vu que (0,0,0) est solution évidente.

a1 et a2 engendrent R2 => Non. Aucun des deux n'est dans R2, ils ne peuvent pas l'engendrer. En revanche, ils engendrent un espace de dimension 2, qui est isomorphe à R^2 (par exemple via le morphisme (x,y) -> x a1 + y a2 )

pour quelle(s) valeur(s) de h a1, a2 et b engendrent R³ => Oui, exactement.

Pour le 2. c'est un système de 3 équations à 4 inconnues, et tu cherches s'il existe une solution telle que le coefficient devant b soit non nul. Cela s'obtient assez facilement avec Gauss Jordan, comme tu l'as sans doute fait.

Édité par Mouton

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Auteur du sujet

Merci pour ta réponse :)

(…) Système consistant => Non. D'ailleurs il l'est nécessairement, vu que (0,0,0) est solution évidente.

Effectivement. J'ai donc besoin d'une infinité de solutions et c'est pour ça que je prend h = 3 ? En gros, parce que je veux que mes vecteurs soient linéairement dépendants ?

Pour le 2. c'est un système de 3 équations à 4 inconnues, et tu cherches s'il existe une solution telle que le coefficient devant b soit non nul. Cela s'obtient assez facilement avec Gauss Jordan, comme tu l'as sans doute fait.

Mouton

D'où j'ai 4 inconnues ? Pour que b soit combinaison linéaire j'écris

$\alpha \overrightarrow {{a_1}} + \beta \overrightarrow {{a_2}} + \gamma \overrightarrow {{a_3}} = b$ Si je résous cela j'ai un système avec une variable libre (infinité de solutions). Et c'est là que je me demandais, est-ce que ça signifie que b est combinaison linéaire de a1, a2 et a3 ou bien il faut absolument la solution unique ?

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J'ai donc besoin d'une infinité de solutions

Précisément.

je veux que mes vecteurs soient linéairement dépendants ?

Oui.

D'où j'ai 4 inconnues ? Pour que b soit combinaison linéaire j'écris

En fait, c'est moi qui ai craqué et toi qui avais raison. J'aurais juste spontanément écrit le système $\alpha \overrightarrow {{a_1}} + \beta \overrightarrow {{a_2}} + \gamma \overrightarrow {{a_3}} + \delta b = 0$, mais c'était idiot, et ton système est meilleur et plus adapté.

Une solution suffit pour ce système. Si tu en as plusieurs, ça veut dire que b peut s'écrire de plusieurs manières comme combinaison linéaire de a1,2,3. Note que dans ce cas, tu peux en conclure quelque chose sur la famille a1,2,3 également.

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