Théorème des deux gendarmes - calcul de limites

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'ai (re)vu le théorème des deux gendarmes cette année. Je comprends bien le théorème mais je vois mal comment trouver les deux fonctions pour entourer notre fonction pour laquelle on cherche à déterminer la limite. Par exemple: calculer la limite (pour n tendant vers l'infini) $\sqrt[n]{{{3^n} + {4^n}}}$ . Je ne vois pas comment trouver les deux fonctions pour l'entourer. Alors, certes, je pourrais prendre le carré pour la borne supérieure mais ça marche pas souvent.. J'ai l'impression que pour utiliser ce théorème, il faut déjà connaître la limite presque afin de trouver les fonctions… Y a-t-il des techniques/astuces pour trouver les deux "bornes" ?

Merci! :)

Édité par ZDS_M

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Je ne sais pas trop ce que vaut ce conseil, mais une idée peut éventuellement être de commencer par encadrer une sous-expression et de voir que la fonction que l'on applique pour passer de la sous-expression à l'expression de départ fait tendre les bornes vers la même chose.

Par exemple, ici, tu peux commencer par encadrer $3^n + 4^n$ (donc on se débarrasse de la racine), de manière évidente… Ensuite, tu devrais voir que lorsque l'on prend la racine $n$-ième de tes bornes, ça devient les mêmes à l'infini.

Sur wikipédia, je vois comme exemple $\frac{\sin(x)}{x}$ et c'est la même idée : on commence par encadrer $\sin(x)$ et on voit que les deux bornes évidentes deviennent les mêmes à l'infini lorsque l'on divise par $x$.

Mais concernant ton problème, cela se voit plus facilement si on pense « à la physicienne » : le $3^n$ devient négligeable devant le $4^n$. Du coup, on se ramène à montrer que $\sqrt[n]{ (3/4)^n + 1^n}$ tend vers $1$. (edit : on met le $4^n$ en facteur, c'est la même idée que pour la limite de fonctions rationnelles)

Édité par Hébé

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Auteur du sujet

Merci beaucoup! J'ai fais ceci mais je voudrais être sûr que c'est correct de procéder comme ceci:

$4 \le \sqrt[n]{{{3^n} + {4^n}}} \le 4.{(2)^{1/n}}$

PS: en fait les gendarmes ça sert pas à grand chose si tu n'as pas d'intuition ou je me trompe ? (car si tu m'avais pas dis que ça tendait vers 4, j'aurais pas deviné).

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PS: en fait les gendarmes ça sert pas à grand chose si tu n'as pas d'intuition ou je me trompe ? (car si tu m'avais pas dis que ça tendait vers 4, j'aurais pas deviné).

ZDS_M

Je ne sais pas trop… Je manque d'exemples intéressants. Je dirais que ça peut traduire une certaine intuition, mais ça ne va pas t'aider…

Après, tu peux toujours prendre ta calculatrice (perso, ça m'arrive souvent de jouer avec).

Voici une visualisation de ce qui se passe quand $n$ tend vers l'infini dans ta formule : https://www.youtube.com/watch?v=LIwJPgMI_X4 (j'ai pas trouvé mieux comme vidéo). On trace en rouge les points $(a,b)$ tels que $\sqrt[n]{|a|^n + |b|^n} = 1$. Le carré vers lequel ça tend est l'ensemble des points tels que $\max(|a|,|b|) = 1$.

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Staff

Généralement, si on applique ce théorème c'est parce qu'on connaît déjà la limite mais seulement par intuition.

Si jamais on la cherche, il suffit de recopier son raisonnement. Si on sait trouver la limite, on peut la démontrer (sous hypothèse qu'on réfléchisse proprement).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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