Je trouve ton propos clair, et bien expliqué. Comme Looping, je pense qu'il faudrait par contre ajouter au début une définition de ce qu'est le pouvoir exécutif.
Concernant la suite :
De quelles fonctions et pouvoirs vous êtes entrain peut-être de donner à l'homme ou la femme qui est inscrit sur le bulletin que vous vous apprêtez à mettre dans l'urne et mécaniquement à son gouvernement ?
Cette phrase me gêne pour deux raisons :
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d'un point de vue institutionnel, ce n'est pas "son" gouvernement mais celui du premier ministre (lequel dirige l'action du gouvernement - art. 21 Constitution). Certes, dans la pratique, hors cas de cohabitation, c'est le Président qui décide mais ce n'est pas forcément le cas ;
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le "mécaniquement" : certes, c'est le Président qui nomme le Premier ministre et les ministres, mais ses choix ne sont pas libres et dépendent de la majorité en place à l'Assemblée nationale (et donc, d'une autre élection : législative). Une nouvelle fois, depuis le quinquennat et l'absence de cohabitation, en pratique, c'est presque mécanique, mais ça pourrait ne pas l'être.
Il est élu au suffrage universel direct, ce qui signifie qu'il est élu par l'ensemble du peuple français.
Au suffrage universel indirect aussi…mais là, il est élu sans intermédiaire - directement - par l'ensemble du peuple français.
(Peut-être préciser ici, que ce n'était pas le cas à l'origine : dans la Constitution de 1958, le Président de la République était élu au suffrage universel indirect. Après le référendum de 1962, c'est devenu le système actuel).
C'est lui qui nomme le Premier ministre
Il nomme aussi tous les autres membres du gouvernement (sur proposition du premier ministre).
Sur le pouvoir de dissolution :
Il y en a quand même eu 5 depuis 1958 (deux sous De Gaulle, deux sous Mitterrand, et celle de Chirac) et seule la dernière, celle de Chirac, a été un échec (majorité sortante d'un autre parti que celui du président).
Elles ont toutes été faites lorsque :
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l'Assemblée nationale avait une majorité d'un autre parti politique que celui du Président;
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et/ou l'Assemblée nationale refusait de voter les projets de loi du gouvernement, voire avait renversé le gouvernement.
Les deux dissolutions de Mitterrand (1981 & 1988) ont la même raison d'être : comme le Président était élu pour 7 ans, et les députés élus pour 5 ans, les élections présidentielles et législatives étaient séparées de plusieurs années.
Lorsque Mitterrand venait d'être élu, en 1981 et en 1988, il s'est retrouvé face à une Assemblée nationale ayant une majorité à droite. Il a donc immédiatement dissous l'Assemblée après son élection, et les nouvelles élections lui ont donné une majorité socialiste de députés.
Ce n'est pas ce que Chirac a fait : il a dissous deux ans après son élection (1995-1997) et alors même qu'il y avait une majorité de droite à l'Assemblée.
Personne ne l'avait jamais fait, et a priori (vu la popularité des présidents après deux ans de mandat), personne ne le fera de nouveau.
Une dissolution a d'autant moins de chance d'avoir lieu dorénavant puisqu'avec le quinquennat les deux élections (présidentielle et législative) ont lieu au même moment. Quand les français élisent un président de tel parti en mai, aux élections législatives un mois après, ils élisent toujours pour le moment (2002, 2007, 2012) une majorité de députés du même parti.
Attention, la dissolution de Chirac c'est 1997, pas 2001.
Peut-être pourrais-tu parler des limites du droit de dissolution (pas dans l'année qui suit une élection législative, pas pendant les pleins pouvoirs, pas pendant l'intérim de la présidence).
Sur le mandat présidentiel :
Sur le passage du septennat au quinquennat : peut être une explication sur ce qu'est la cohabitation, pourquoi elle est désormais très peu probable depuis le quinquennat (mais toujours possible en théorie).
Il faudrait aussi mentionner que l'on ne peut pas faire plus de deux mandats consécutifs comme Président. On ne peut alors pas se représenter aux élections présidentielles qui suivent (comme aux USA ou en Russie, par exemple).
Un système "à la Poutine" (2 mandats de président, puis se faire nommer premier ministre par le nouveau président pour redevenir président aux élections d'après) serait sur le papier possible en France, si les français le voulaient 
Autre pouvoir à mentionner : le droit de grâce a titre individuel.
Peut-être pourrais-tu ajouter rapidement la question de l’irresponsabilité du président durant son mandat ? (impossibilité de le poursuivre au pénal ou de l’assigner au civil).
Et puis la question de l’intérim de la présidence de la république quand le mandat prend fin avant la fin (décès du président, ou démission) : qui prend le relais en attendant les nouvelles élections ?
Sur les président de la Ve :
Attention, Pompidou a été élu lors des 3èmes élections de la Ve (De Gaulle a été élu deux fois, puis a démissionné en cours de second mandat).
