Séries numériques

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'ai pas mal de difficultés avec les séries. J'aimerais faire un petit point:

Est-ce qu'en général on s'attache à la limite d'une série (en l'infini) ou bien sa somme ? De plus, est-on capable de calculer la somme si elle n'est ni arithmétique ni géométrique ? Concernant les techniques/théorèmes à utiliser pour déterminer si une série est convergente, est-ce que j'ai bien "que" le Th. de Cauchy (racine n-ième) et le Th. d'Alembert (critère du quotient) ?

Considérons par exemple la série suivante : $\sum\limits_{n = 0}^\infty {(\frac{{3n + 2}}{{4n + 5}}} {)^n}$

Je décide d'utiliser Cauchy:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {({(\frac{{3n + 2}}{{4n + 5}})^n})^{1/n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n}}{{4n}} = \frac{3}{4} < 1$

Comme la limite est < 1, Cauchy nous dit que la série converge absolument (et donc converge). Ceci me paraît clairement faux ou en tout cas clairement contre-intuitif dans ce cas-ci… Mais bon c'est peut-être correct, je ne sais pas!

J'aimerais bien avoir des petites astuces si vous avez pour les séries en général ou alors si vous avez un bon cours à recommander (je trouve pas grand chose sur YouTube/le net globalement).

Merci!

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Staff

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Est-ce qu'en général on s'attache à la limite d'une série (en l'infini) ou bien sa somme ?

Pas compris ta question !

De plus, est-on capable de calculer la somme si elle n'est ni arithmétique ni géométrique ?

C'est souvent au cas par cas. Tout comme pour les intégrales en fait (les deux sont très étroitement liées).

Concernant les techniques/théorèmes à utiliser pour déterminer si une série est convergente, est-ce que j'ai bien "que" le Th. de Cauchy (racine n-ième) et le Th. d'Alembert (critère du quotient) ?

Non il y en a de (nombreux ?) autres. Et c'est pas anormal, tu peux toujours affiner des critères quand ces deux résultats ne donnent rien.

Comme la limite est < 1, Cauchy nous dit que la série converge absolument (et donc converge). Ceci me paraît clairement faux ou en tout cas clairement contre-intuitif dans ce cas-ci… Mais bon c'est peut-être correct, je ne sais pas!

Ton terme général ressemble à du $(3/4)^n$, moi ça me paraît pas dingue.

J'aimerais bien avoir des petites astuces si vous avez pour les séries en général ou alors si vous avez un bon cours à recommander (je trouve pas grand chose sur YouTube/le net globalement).

Il y a rarement des notes très claires sur ce sujet (de mémoire). Je vais voir ce que j'ai en stock de mon côté.

edit : voici les notes que j'avais prises pendant le cours que j'ai eu. Il n'y a pas que des séries numériques, je te laisse fouiller. C'est surement plein de fautes de frappes, mais j'avais travaillé avec et je crois pas avoir beaucoup de choses à y redire.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci beaucoup ! Je vais lire tout ça attentivement :) Est-ce que quelqu'un pourrait juste me donner un exemple pour utiliser le théorème de comparaison ? edit: Par exemple, si je veux discuter la convergence de la série suivante $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{n}{{n + 1}}} $ J'ai essayé le Th. d'Alembert (critère du quotient) mais ça me donne 1. Du coup, je me replie sur le critère de comparaison : $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{n}{{n + 1}}} < \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} $ et on montre que la série est divergente. Est-ce la bonne approche à avoir ? (déjà, est-ce que mon encadrement est correct ? :p ) Par là, je veux dire: essayer les théorèmes que je connais c-à-d Alembert et Cauchy et puis seulement se baser sur le critère de comparaison?

Édité par ZDS_M

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