Salut,
Par rapport à ta question initiale.
"Et si j'essayais de trouver l'ensemble des sous-espace vectoriel de cet ensemble ?"
Et là, blocage, je n'ai que trouvé le singleton comprenant la matrice nulle d'ordre 2 (ben oui). Mais pour le reste ?
Y a-t-il une méthode pour en trouver d'autres facilement ? Ou alors, des "modèles" pour en créer ?
On connaît bien l'ensemble des sous-espaces vectoriels dans des cas « simples », mais ça anticipe sans doute un peu sur ton cours. Au besoin, tu pourras y revenir avec un peu plus de recul (sur la notion de dimension, notamment). 
Déjà, de manière générale, pour étudier une structure algébrique (et en particulier pour les espaces vectoriels), une notion importante est celle isomorphisme. L'idée est de regrouper ensemble les structures qui se ressemblent. Deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels sont isomorphes si ils se comportent de la même manière du point de vue des lois d'un espace vectoriel (combinaisons linéaires de vecteurs, en l'occurrence). Concrètement, on dira que $E$ et $F$ sont isomorphes s'il existe $\Phi$ bijective de $E$ dans $F$ qui « passe à la combinaison linéaire » :
$$\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x, y \in E, \Phi(\lambda x + \mu y) = \lambda \Phi(x) + \mu \Phi(y)$$
(On cherche donc exactement une application linéaire bijective.)
On peut regarder les propriétés communes à deux espaces vectoriels isomorphes. L'une d'elle est celle de sous-espace vectoriel : si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $\Phi(G)$ est un sous-espace vectoriel de $F$, et réciproquement tout sous-espace vectoriel de $F$ a son équivalent dans $E$. On voit donc que deux espaces vectoriels isomorphes ont les mêmes sous-espaces vectoriels « à isomorphisme près ». Ça veut dire qu'il suffit de connaître la structure des espaces vectoriels sur $E$ « simple » pour connaître celle sur $F$ (et on peut même les expliciter si on connaît $\Phi$). Et ça, c'est très pratique !
L'un des aspects assez cool des espaces vectoriels est qu'on sait les classifier « à isomorphisme près » dans de nombreux cas simples. C'est en fait l'objet de la théorie des dimensions. Dans le cas de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, on peut se contenter d'un argument ad hoc : se donner une matrice réelle carrée de taille 2, c'est exactement se donner quatre réels (par construction de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, en fait !). Tu peux t'amuser à expliciter un isomorphisme de $\mathbb{R}$-espace vectoriel entre $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathbb{R}^4$.
Par ce qui précède, on sait qu'il suffit d'étudier les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$ pour obtenir ceux de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. En fait, plus généralement, on peut se demander quels sont les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$.
Par exemple, tu peux commencer par chercher quels les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}$. De $\mathbb{R^2}$ ? De $\mathbb{R^4}$ ? Ce sont des questions conceptuellement plus simples que le problème de départ, dont la réponse permet de déduire efficacement tous les sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Et c'est une méthode assez générale !
On peut généraliser cette idée à d'autres structures algébriques. Par exemple, deux groupes isomorphes (il faut adapter un peu la définition) auront plein de propriétés communes !
), mais je ne vois pas en quoi cela peut nous aider à construire des sev…
