Fonction dérivable

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour,

J'arrive pas à résoudre ce problème car j'arrive pas à calculer les limites.

$f(x) = \left\{ {{x^m}\sin (\frac{1}{x}} \right.),x \ne 0;0six = 0$

Donner les valeurs de m (m appartenant aux entiers relatifs) pour lesquelles f est dérivable en 0. J'ai dérivé l'expression et essayer de calculer la limite en 0 mais j'y arrive pas surtout à cause de sinus de la fonction inverse 1/x (on aurait +/- donc mais pour moi cette limite n'existe pas)

Merci!

+0 -0

Est-ce que tu pourrais montrer ce que tu as déjà fait au cas où il y aurait une erreur (pas besoin de tout retaper si tu peux prendre une photo propre de ta feuille de brouillon)?

En particulier fais voir l'expression du taux d'accroissement en 0.

Édité par anonyme

+0 -0
Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,

D'un point de vue stratégique, je te conseille d'abord de vérifier pour quelles valeurs de $m$ la fonction est continue en 0, ce qui est une condition nécessaire de dérivabilité. Ensuite, tu pourras t'intéresser à la dérivabilité de la fonction en 0, ce qui ressemblera en fait à la continuité.

D'un point de vue technique, essaie d'encadrer $\sin \frac{1}{x}$, puis de majorer $|f(x)|$ par une fonction dont la limite (fonction de $m$) est facile à trouver.

+3 -0

Je pense que tu vas un peu trop vite. Tu marques sur ta feuille que c'est continu pour tout $m$. Ça m'étonnerait.

Pour que ta fonction soit continue en 0, il faut une limite bien précise en 0. Laquelle ? Quelles conditions sur m cela implique ?

Une fois que tu as ça, il faut écrire le taux d'accroissement au point à emmerdes, ici c'est 0. Est-ce que le taux d'accroissement admet une limite (finie !) en 0, et si oui pour quelles valeurs de m ?

+1 -0
Staff

Tu as vérifié la continuité sans la prouver, c'est aussi pour ça que tu as du mal à voir pourquoi tu n'aboutit pas pour la dérivée.

Ce qui pose problème, c'est vraiment le $\sin \frac{1}{x} $, puisque tu ne connais pas la limite de ce machin. Mais tu sais que c'est borné. Tu peux alors te servir de ça pour prouver la continuité. Et tu peux ensuite refaire le même coup pour prouver la dérivabilité.

Dans ton calcul au brouillon, tu as du mal à t'en sortir parce que le $\sin \frac{1}{x} $ est toujours là quand tu dérives. Dans ce cas précis, utiliser la définition de la dérivée (limite du taux d'accroissement, s'il existe) fait des calculs plus simples.

Tu peux t'en sortir avec ton truc actuel, à condition que tu saches prouver la continuité proprement, c'est la clé de tout !

+0 -0

De manière générale quand on te donne une fonction définie par morceaux avec des trucs moches dedans il faut s'en méfier comme de la peste, comme disait mon prof. Donc la continuité on ne l'affirme pas de manière péremptoire sur les points à problèmes, mais sur les bouts de la fonction où c'est trivial tu peux le dire.

+0 -0
Auteur du sujet

J'ai refait les calculs et je trouve que f et continue pour tout entier $m$ > 0. Pour la différentiabilité, j'ai fais ceci:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{ + / - }}} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{ + / - }}} {x^{m - 1}}\sin \frac{1}{x} = 0$ si m > 1 (m entier).

On me demande après si f' est continue en x = 0. Je fais:

$f'(x) = \left\{ {m.{x^{m - 1}}} \right.\sin (\frac{1}{x}) - {x^{m - 2}}\cos (\frac{1}{x}),x \ne 0//0,x = 0$

qui est continue seulement si m>2 (m entier). Je ne sais pas trop si je répond à la question là.

+0 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte