Existence d'une dérivée

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Auteur du sujet

Bonjour,

On me demande si f'(0) existe avec

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin (\frac{4}{x}),x \ne 0\\ 0, x = 0 \end{array} \right.$$
(dans R dans R)

Quand j'ai calculé ma dérivée j'obtient ceci:

$$f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x\sin (\frac{4}{x}) - 4\cos (\frac{4}{x}),x \ne 0\\ 0, x = 0 \end{array} \right.$$

ce qui est correct d'après ma calculatrice et Wolfromalpha… Après je calcule la limite (en 0) et je vois qu'elle n'existe pas. J'ai vérifié en traçant le graphe sur Wolfromalpha et effectivement elle n'existe pas (graphe ). Mais la correction me dit que f'(0) = 0 (voir http://cl.ly/2T0i1R0a1c3h ) et je ne comprends pas pourquoi. Est-ce qu'il ne fallait même pas calculer la limite et se dire que vu que f(x) = 0 en x = 0 alors f'(0) = 0 ? Si c'est le cas, je vois pas pourquoi car les limites à droite et à gauche n'existent pas.

Merci et désolé pour toutes ces questions :p

Édité par ZDS_M

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Reviens à la définition de la dérivée, la formulation avec la limite. (Celle du message d'adri1)

Quand tu parles de limite dans ton message, c'est celle de $x\mapsto 2x\sin(\frac{4}{x})-4\cos(\frac{4}{x})$ en 0 ? Sauf que celle-ci ne t'apprends rien, si ce n'est que ta dérivée n'est pas continue en 0.

Édité par Freedom

Staff

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Salut

Bon déjà, j'ai du mal à comprendre comment tu fais pour calculer $f'(x)$ pour $x=0$ avant même d'avoir prouvé qu'elle existe… :-°

À part ça, la définition d'une dérivée, c'est

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0^\pm}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$
ce sont donc les limites à gauche et à droite de $f$ que tu dois regarder, pas celles de $f'$ (qui elles te renseigneraient sur la continuité de $f'$, mais évidemment pas sur son existence).

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,

C'est un exemple classique de fonction dérivable mais de dérivée non continue. Tu peux te convaincre du résultat en utilisant la définition du nombre dérivé (avec les limites).

En fait, si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f'$ n'admet pas de limite finie en 0, on ne peut pas dire que $f$ n'est pas dérivable en 0. La fonction que tu étudies en est en fait le contre-exemple typique.

Par contre, la réciproque du résultat que tu utilises est vrai : si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et si $f'$ a une limite finie $l$ en 0, alors $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=l$ (c'est ce qu'on appelle souvent le « théorème de la limite de la dérivée »).

(Sans parler de $f(0)=0$ implique $f$ dérivable en 0 et $f'(0)=0$, qui est vraiment faux : tu devrais trouver plein de contre-exemples par toi-même !)

ÉDIT : Je poste quand même pour la fin.

Édité par Lucas-84

Auteur du sujet

Merci @adri1 . Encore les mauvaise habitudes du lycée je pense…

$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{ + / - }}} \frac{{{x^2}\sin (\frac{4}{x}) - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{ + / - }}} x\sin (\frac{4}{x}) = 0$ (0 par encadrement de la fonction sinus, bornée.)

Donc ça serait une fonction de classe C^0 ?

Est-ce correct ?

Édité par ZDS_M

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Niveau rigueur, si on veut vraiment pinailler, tu ne peux pas écrire la première égalité, parce que tu n'as pas montré que la limite n'était pas infinie et $f^\prime$ est une fonction à valeurs réelles. Généralement, on écrit lim seulement pour la présentation du résultat. (D'ailleurs, tu n'as tout simplement pas montré que la limite existait).

Ensuite, justement, pour étudier la dérivabilité de f, tu as du calculer le taux de variation de la fonction $f$ en $0$, tu as trouvé cette limite, et donc tu as montré qu'elle était dérivable de dérivée égale à $0$ en $0$. Maintenant pour la continuité, il faut vérifier que $f^\prime(x)$ pour $x \neq 0$ tend vers $f'(0)$ proche de 0. Tu vois alors que ce n'est pas le cas, vu que tu as montré au dessus que $f^\prime$ n'admettait pas de limite en $0$. Donc non, la fonction n'est pas $\mathcal{C}^0$.

Édité par unidan

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Auteur du sujet

D'ailleurs, tu n'as tout simplement pas montré que la limite existait.

unidan

En quoi je ne montre pas qu'elle existe ? Si je calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{ + / - }}} x\sin (\frac{4}{x})$ et que je montre qu'elle vaut 0 ça signifie qu'elle existe, non?

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Staff

Niveau rigueur, si on veut vraiment pinailler, tu ne peux pas écrire la première égalité, parce que tu n'as pas montré que la limite n'était pas infinie

Bah si, c'est ce que fait ce calcul. Une égalité ça se lit aussi de droite à gauche :).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Holosmos, je ne suis pas sûr de comprendre. Si $f$ est la fonction racine carrée, j'aurai :

$$ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^+}} \frac {\sqrt x - \sqrt 0} {x - 0} = \infty $$

Ca n'a pas de sens, si ?

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En fait ta limite est juste. Mais que la partie limite. Par contre, tu n'as pas le droit d'écrire $f'$ parce que la limite du taux d'accroissement est infinie.

Quand tu fais ce genre de choses, il faut absolument te demander si tu as le droit d'écrire quelque chose. Interdiction d'écrire $f'$ avant d'avoir prouvé l'existence.

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Staff

Oui, c'est ce qu'on m'a appris en prépa, mais Holosmos semble dire le contraire. :)

Vayel

Sauf que dans ton cas, ton égalité abouti bien sur une limite finie. Donc tu as le droit de l'écrire. Ce que tu as écrit est valide.

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Je suppose que ça doit être une pratique de taupin pour nous forcer à toujours justifier ça, éviter certains pièges, éviter d'avoir une rature avec une série de calcul en $\lim$ qui se termine par "cela n'admet pas de limite", ou simplement que c'est pour éviter de se retrouver avec plusieurs lignes de calcul avec $\lim$ devant, et que j'ai fait un glissement de sens ! My bad.

Après, certes l'égalité se lit dans les deux sens, mais la lecture se fait de gauche-haut à droite-bas, donc c'est peut-être aussi que je ne trouve pas cette forme très élégante à la lecture, et que ça donne l'impression de ne pas avoir pris la peine de mettre en forme le résultat pour avoir la certitude que la limite existe (sachant que c'est la question).

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Mais quand tu commences à écrire ta ligne, tu ignores si le résultat sera fini. Dans le cas de la fonction racine, une fois que je me rends compte que la limite est infinie, je constate par la même occasion que je n'avais pas le droit d'écrire cette ligne (le premier terme n'est pas défini) donc je n'ai plus qu'à l'effacer ?

Édité par Vayel

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Non mais tu peux remplacer $f'$ par $\tau$ par exemple avec un effaceur. Comme ça personne peut te reprocher quoi que ce soit et ensuite si $\tau(x)$ est fini tu auras juste à écrire $f'(x) = \tau(x)$.

Édité par anonyme

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Staff

Mais quand tu commences à écrire ta ligne, tu ignores si le résultat sera fini.

Vayel

Oui, mais ça on s'en fout j'ai envie de dire. Une écriture mathématique n'a pas de dépendence temporelle, donc si tu n'es pas sûr à l'avance, tu peux bien rajouter le $f'(x)$ à la fin temporelle de ton calcul mais au début spatial de ton expression.

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Staff

Si (et seulement si) il y a une raison mathématique derrière le -1 sur mon dernier post, je suis intéressé de l'entendre. Et je suppose que ça peut servir à l'OP aussi, merci donc de partager.

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+2 -0
Staff

Holosmos, je ne suis pas sûr de comprendre. Si $f$ est la fonction racine carrée, j'aurai :

$$ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^+}} \frac {\sqrt x - \sqrt 0} {x - 0} = \infty $$

Ca n'a pas de sens, si ?

Vayel

Dans le cas où tu limites la valeur d'une fonction à des valeurs finies, non. Mais ça n'est pas parce que tu écris une égalité qu'elle est vraie.

Dans le cas précédent, il n'y a pas plus de justification à donner parce que c'est alors tout à fait évident.

En fait ta limite est juste. Mais que la partie limite. Par contre, tu n'as pas le droit d'écrire $f'$ parce que la limite du taux d'accroissement est infinie.

Quand tu fais ce genre de choses, il faut absolument te demander si tu as le droit d'écrire quelque chose. Interdiction d'écrire $f'$ avant d'avoir prouvé l'existence.

Grimur

C'est ce que fait ce calcul, d'où le fait d'avoir le droit de l'écrire, non ?

Mais quand tu commences à écrire ta ligne, tu ignores si le résultat sera fini.

Mais ta copie n'est pas un film, on connait la fin en même temps que le début de ton calcul :-).


De manière générale, j'observe souvent que la notation $\lim f(x)= a$ est mal comprise. $\lim f(x)$ est alors un nombre au même titre que $a$. Il n'y a pas « d'action » de « passage à la limite » quand on écrit $\lim f(x)$, on écrit là un nombre.

Si j'ai $0=a=b=f(x)$ alors $f$ est bien définie en $x$ et cette équation a du sens. Mais cette équation est strictement équivalente à $f(x)=b=a=0$. Remplacez $b$ et $a$ par les limites précédentes et on se retrouve dans le même cas de figure.

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