Bloqué sur une récurrence

J'ai toujours du mal pour les récurrences de toute façon...

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour,

Ayant un devoir de spécialité arrivant bientôt, j'ai décidé de faire quelques petits exercices. Je suis donc bloqué à une récurrence. Je dois montrer que :

$$ k \ge 1, A^{k} = 3^{k}I + 3^{k - 1}kN $$

Avec :

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ N = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Et $I$ la matrice identité d'ordre 2.

L’initialisation se fait sans trop de problème. C'est pour l'hérédité que je ne vois ps trop comment je vais faire… J'en ai bien évidemment déduis cette formule :

$$ A^{k + 1} = 3^{k+1}I + 3^{k}(k + 1)N $$
Mais bon… J'irais pas très loin avec ça !

Merci de votre aide !

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Bonjour,

Écris le cas $k=1$ et $k$ sur ta feuille comme hypothèse, ensuite déroules le calcul de $A^{k+1}$ sans à priori sur le résultat.

Pour t'aider à démarrer, comment calculer $A^{k+1}$ quand tu connais $A$ (cas $k=1$) et $A^k$ (cas $k$) ?

Édité par Freedom

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