Démontrer cette formule

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je viens vers vous car je suis bloqué sur un exercice que m'a donné ma prof de physique (je suis entrain d'étudier les balanciers). Je doit démontrer la formule suivante :

$$ \Theta''+\omega^2\sin{\Theta}=0 $$
Ce n'est pas tout a fait de mon niveau, mais elle me l'a donné car je suis intéressé par la prépa. Je suis donc allé chercher sur internet la valeur de $\omega$ et j'ai trouvé :
$$ \omega = \sqrt{\frac{2a}{m}} $$
Mais je ne suis pas tellement plus avancé car je ne sais pas ce qu'est $a$ ! J'obtiens tout de même :
$$ \Theta''+\frac{2a}{m}\sin{\Theta}=0 $$
Occupons-nous de $\Theta$ qui est l'angle formé entre l'axe verticale et le fil (sois l'amplitude du lancer). Cette angle est donc une valeur… Il n'y a pas de variables. Du coup la dérivé est constante et nulle. La dérivé seconde est également nulle et constante… C'est pour ça que je me dit que je ne suis pas sur la bonne piste.

Je peux aussi déterminer la valeur de $\Theta''$ :

$$ \Theta''=-\frac{2a}{m}\sin{\Theta} $$
Mais je suis pas tellement plus avancé… Auriez-vous un élément qui pourrait me débloquer ? Ou un pdf de cours à lire afin que je comprenne un peu mieux ?

Merci de votre aide !

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0
Staff

Comme le balancier se balance, l'angle n'est pas constant. Autrement dit, $\theta$ est une fonction du temps. Et ton équation est par conséquent une équation différentielle non linéaire.

Édité par Aabu

+1 -0
Auteur du sujet

Oui effectivement, $\Theta$ est une variable, enfaite c'est même évident maintenant que vous le dite. :-° Et $a$ est la valeur de l'accélération. Du coup j'ai dessiné mon système, et écrit la seconde loi de Newton :

$$ \sum \vec{F_{ext}} = m\times\vec{a} $$
Du coup, j'ai mon $a$ et mon $m$ ! Dois-je considérer que l'objet du balancier n'est soumis qu'a son poids ? J'arriverais du coup à :
$$ m\times\vec{g} = m\times\vec{a}\\ \vec{g} = \vec{a} $$
Et j'aurais a faire une résolution comme j'ai l'habitude de faire (résoudre le vecteur accélération puis vitesse et enfin position) mais est-ce que ça va me mener là où je suis sensé arriver ? Je ne vois pas trop l'intérêt du vecteur position ici…

Je l'aurais plutôt vu comme ça :
Je sais que $Em = Ec + Epp$, du coup il faut que je trouve $Ec$ et $Epp$. $Epp$, c'est facile, je l'ai déjà. Par contre pour $Ec$ il me faut une vitesse. Je peut avoir la vitesse angulaire ($\Theta'$) mais ce n'est pas la vitesse de la masse, si ? Et après je pense que tout devrait bien s'emboîter, enfin… J'espère ! :-D

Merci de votre aide !

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

C'est effectivement une bonne idée de passer par des énergies, sinon c'est un peu plus chiant.

La vitesse sur trajectoire c'est la longueur du fil fois la vitesse angulaire (dérivée de l'angle par rapport au temps). Avec ça tu obtiens une expression de l'énergie mécanique du système. Elle se conserve parce qu'il y a pas de frottement, que peut-on dire ? (Indice: dérive).

Avant de faire quoi que ce soit sur l'énergie mécanique je simplifierais l'expression avec un développement limité: quand $x$ est petit $\cos x \approx 1-x^2/2$. Suppose que tu as des petits angles.

Édité par anonyme

+0 -0
Staff

Je vais te poser trois questions pour te faire réfléchir :

  • Quelle est l'unité de $m$ ? de $ \omega $ ?
  • Quelle est par conséquent celle de $a$ ?
  • Est-ce compatible avec une accélération ?

Et enfin, deux questions qui devrait t'ôter une once de confusion :

  • où as-tu trouver ta formule pour $\omega$ ? (c'est une question pour toi, j'ai trouvé où ;) )
  • sa définition colle-t-elle avec ton problème ?

Edit. : la méthode avec la conservation de l'énergie mécanique est la meilleure à ton niveau. J'ai testé le principe fondamental de la dynamique, et ça fait 10 lignes de plus sur mon brouillon.

Edit. 2 : en plus ta deuxième loi de Newton est fausse, il manque une force.

Édité par Aabu

+2 -0

Ce que dit Aabu est très pertinent: en physique on peut vérifier très facilement ses calculs ou trouver des formules rien qu'en regardant les unités (analyse dimensionnelle). Je te conseille de faire quelques recherches dessus et de tenter quelques exercices d'analyse dimensionnelle, c'est rigolo et très pratique pour repérer ses erreurs.

+0 -0
Auteur du sujet

La vitesse sur trajectoire c'est la longueur du fil fois la vitesse angulaire (dérivée de l'angle par rapport au temps). Avec ça tu obtiens une expression de l'énergie mécanique du système. Elle se conserve parce qu'il y a pas de frottement, que peut-on dire ? (Indice: dérive).

Grimur

Merci pour la formule. Du coup, j'arrive à ça :

$$ Em = \frac{1}{2}ml^2\Theta'^2\times mgl(1-\cos{l}) $$
Si $Ec$ et $Epp$ s'annulent alors $Em$ est égale à une constante, donc la dérivé de $Em$, $Em'$, vaut $0$, soit exactement ce que je cherche ! Bon ou pas bon ? :D

Avant de faire quoi que ce soit sur l'énergie mécanique je simplifierais l'expression avec un développement limité: quand $x$ est petit $\cos x \approx 1-x^2/2$. Suppose que tu as des petits angles.

Grimur

Je n'ai jamais vu les développements limités… C'est grave si je le fais sans ?

Je vais te poser trois questions pour te faire réfléchir :

  • Quelle est l'unité de $m$ ? de $ \omega $ ?
  • Quelle est par conséquent celle de $a$ ?
  • Est-ce compatible avec une accélération ?

Et enfin, deux questions qui devrait t'ôter une once de confusion :

  • où as-tu trouver ta formule pour $\omega$ ? (c'est une question pour toi, j'ai trouvé où ;) )
  • sa définition colle-t-elle avec ton problème ?

Et c'est justement là que ça m'a aidé tes questions… Je me rend compte que je ne sais toujours pas ce que c'est que ce $\omega$ (je ne l'ai encore jamais vu en cours)… Du coup, son unité, je ne la connais pas, cependant je sais que l'unité de la masse est kg et d'une accélération s'exprime en $m.s^{-2}$. La formule que j'ai trouvé ne colle pas du tout avec ce que je recherche. Et d'après ce que je vois, il y a pas mal de formule pour $\omega$. Du coup… C'est quoi ce $\omega$ ? :'(

Et oui en chimie c'est ce que je fais tout le temps pour trouver des formules ou repérer les fautes, j'utilise les unités ! (Mon prof de première avait vraiment insisté sur ça, je me rend compte cette année à quel point il a raison).

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Ton énergie mécanique est pas bonne, c'est une somme normalement, pas un produit. C'est juste ça le souci. Ensuite, je soustrairais $mgl$ pour simplifier l'expression de l'énergie mécanique, t'as le droit de le faire car l'énergie potentielle est définie à une constante près. Ah oui, c'est $\cos \Theta$, j'imagine que c'est une erreur de saisie.

Tu as bon sur la méthode ensuite. Et oui le développement limité est important, y'a que comme ça que tu peut obtenir l'équation différentielle linéaire.

Pour te persuader que ca marche trace la tangente du sinus en 0. Tu vois que quand t'es pas loin de 0 la tangente du sinus et le sinus c'est quasi pareil ? L'équation de la tangente en 0 du sinus c'est quoi ?

Ça devrait te convaincre que quand $x$ est suffisamment proche de 0 $\sin x \approx x$. Si tu injectes ça dans $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ça donne:

$$\cos^2 x \approx 1-x^2$$

Ensuite, prends ta calculatrice et regarde ce que valent $\sqrt{1-x^2}$ et $1-x^2/2$ quand $x$ est assez proche de 0. C'est quasi pareil non ? Donc ça veut dire que si $x$ est proche de 0 on a le droit de dire que:

$$cos x \approx 1-x^2/2$$
.

Voilà, c'est ça les développements limités. Admets celui que je t'ai donné. On s'en sert beaucoup en physique pour simplifier les calculs. Quand j'étais en terminale je trouvais ça arnaqueux au possible mais mathématiquement tu le verras rigoureusement l'an prochain. Si ça t'intéresse jette un oeil au tuto d'Holosmos

Pour $\omega$, son unité est la $s^{-1}$. Ça s'appelle la pulsation.

Édité par anonyme

+0 -0
Auteur du sujet

Effectivement, ma formule n'est pas bonne (erreur de frappe seulement, sur le papier elle est correcte). Mais du coup je ne comprend pas pourquoi vouloir passer par les développements limités alors que je peux simplement dériver :

$$ Em = \frac{1}{2}ml^2\Theta'^2 + mgl(1-\cos{\Theta})\\ \frac{dEm}{dt} = ml^2\Theta'\Theta'' + mgl\Theta'\sin{\Theta} $$
Comme c'est égal à $0$, je peux simplifier par $ml^2\Theta'$ et supposer que $\omega^2 = \frac{g}{l}$ (je l'ai testé sur papier, ça fonctionne.. Si ma dérivée est bonne :-° ).

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0
Auteur du sujet

Pfiou merci à vous j'ai bien crû que j'allais jamais pouvoir la réussir si il fallait passer par les développements limités !
Merci à vous, le gros plus c'est que j'ai parfaitement compris ce que j'ai fait, et ça, c'est top !

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

+0 -0

Cool ! Dans l'équation différentielle finale tu peux remplacer le sinus par simplement $\Theta$ si tu veux essayer de la résoudre. Les solutions sont alors de la forme $A\cos(\omega t + \phi)$ avec $A, \phi$ des constantes. Si tu poses $\theta_0$ la valeur de l'angle pour $t=0$ et que tu supposes qu'on lâche le pendule sans vitesde initiale (donc $\Theta^'(0)=0$), tu peux essayer de trouver les valeurs des constantes en injectant la forme de la solution dans l'équation différentielle et en en déduisant des conditions. Je sais qu'on te le demande pas mais je te dis ça quand même si tu as envie d'essayer la résolution complète, j'avais trouvé ça rigolo la première fois que je l'ai fait.

Édité par anonyme

+1 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte