Trinômes de second degré

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Auteur du sujet

Bonjour, je suis bloqué à un DM.

En effet, il y a deux paraboles qui admettent un point d'intersection de coordonnées $(2,1)$, il faut trouver l'équation des deux paraboles, qui sont polynômes de second degré (du type $ax²+bx+c$).

De ce fait, il est possible de prendre ces deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ tel que $f(2) = g(2)$$f(2) = 1$ et $g(2) = 1$.

A partir de cet instant, je bloque, que faut-il faire pour trouver les deux équations? Un système? Avec géogébra, j'obtient les résultats suivants :

$f(x) = 1/4x²-2x+4$ et $g(x)=-1/4x²+2$

Merci d'avance. :-)

Éternel curieux

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Si tes seules hypothèses sont f(2) = g(2) = 1, alors tu vas avoir du mal à n'en trouver que 2 : il y en a une infinité. Si la question est d'en trouver deux, ben… c'est fait.

(D'ailleurs, quelles que soient les valeurs de a et b que tu choisis, tu peux toujours adapter c pour que f(2) = 1).

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Je pense qu'il faut surtout ne pas avoir peur de tenter. Comme c'est un DM tu as tout à fiat le loisir de partir sur une fausse piste pour ensuite y revenir. Même si avec les seules indications que tu donnes on ne peut pas résoudre le problème)

Voilà comment je partirai à chaud.

$$ a_0 \times 2^2 + 2b_0 + c_0 = a_1 \times 2^2 + 2b_1 + c_1 $$

signifie que 2 est une solution de l'équation $(a_0 - a_1) x^2 + (b_0 - b_1) x + (c_0 - c_1) = 0$.

Autrement dit il existe un réel d tel que $(x - 2)(x - d) = (a_0 - a_1) x^2 + (b_0 - b_1) x + (c_0 - c_1)$

En trouvant d tu trouveras le deuxième point d'intersection des fonctions.

A partir de là tu auras plusieurs indices. En effet quelle que soit la valeur de d il suffit d'évaluer $f(0) - g(0) = c_0 - c_1 = 2 \times d)$.

Édité par artragis

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Auteur du sujet

Salut artragis : il y a une erreur dans ton code mathjax à la fin de ton commentaire.

En fait, il y a une infinité de valeur mais j'ai omis deux choses :

  • f est concave sur [0,2] donc f'(x) est décroissante sur [0,2]
  • g est convexe sur [2,4] donc g'(x) est croissante sur [2,4]

Ainsi, le point d'intersection des deux paraboles est aussi le point d'inflexion d'un polynôme de degré 3 positionné à l'horizontale (allure de courbe obtenue par géogébra).

De ce fait, f et g étant deux trinômes, on a :

  • $f'(x) = 2ax + b$ avec a < 0
  • $g'(x) = 2mx + p$ avec m > 0

Merci pour les pistes. :-)

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Salut,

En fait, il y a une infinité de valeur mais j'ai omis deux choses :

  • f est concave sur [0,2] donc f'(x) est décroissante sur [0,2]
  • g est convexe sur [2,4] donc g'(x) est croissante sur [2,4]

Déjà, j'ai du mal à voir comment la concavité/convexité d'une parabole peut changer selon l'intervalle sur laquelle on la regarde, la dérivée seconde d'une parabole étant une bête constante… J'ai d'ailleurs du mal à comprendre d'où viennent les conditions données par artragis qui me semblent incorrectes…

Comme l'a expliqué Mouton, le problème est mal posé (dans le sens mathématique du terme), même avec ces informations (qui ne donnent que des informations sur le signe du coefficient sur le $x^2$).

Est-ce que tu pourrais mettre l'énoncé verbatim plutôt que de le donner morceau par morceau ? Ce serait nettement plus facile pour t'aider.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

A la base, le DM demande de déterminer une fonction dont la courbe représentative à l'allure d'un toboggan et admet deux tangentes (l'axe des abscisses et des ordonnées). Elle passe par deux points A(0,2) et B(4,0).

Mon raisonnement au départ est de prendre un point d'inflexion en (2,1) tel qu'il soit formé deux intervalles [0,2] et [2,4]. Par la suite, je décide de passer par l'intermédiaire de deux paraboles, idée m'étant venu par la correction d'un DM similaire, conseillé par le prof. Ainsi, je ne parle pas de la concavité/convexité d'une parabole mais d'une courbe de polynôme de degré trois à l'horizontale (allure de courbe très grossière) formé par les deux paraboles :

Paraboles

Le DM demande de déterminé l'équation de cette fonction. Or, les équations des deux paraboles ont étés obtenue par géogébra, je soit expliquer cela algébriquement et je n'y arrive pas (cf raisonnement plus haut).

L'idée est que le point d'intersection des deux paraboles est le point d'inflexion de la courbe du polynôme de degré 3. Toutefois, si on souhaite déduire l'équation des deux paraboles en résolvant l'équation f(2) = g(2), il y a une infinité de possibilité étant donné les trois coefs. J'ajoute ainsi les conditions : dans l'intervalle [0,2], on a concavité puis dans l'intervalle [2,4], on a convexité d'où f'(x) avec Df' = [0,2] est décroissante, l'inverse pour g'(x).

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

A la base, le DM demande de déterminer une fonction dont la courbe représentative à l'allure d'un toboggan et admet deux tangentes (l'axe des abscisses et des ordonnées). Elle passe par deux points A(0,2) et B(4,0).

C'est de plus en plus confus, tu ajoutes des éléments de plus en plus bizarres et incohérents entre eux. Par exemple, si ta courbe est composée de parboles par morceaux, l'axe des ordonnées ne risque pas d'être tangent (ce n'est d'ailleurs pas le cas sur ton dessin). Donne l'énoncé exact plutôt que de donner l'interprétation que tu en fais.

mais d'une courbe de polynôme de degré trois à l'horizontale (allure de courbe très grossière) formé par les deux paraboles

Ozmox

Coller deux bouts de paraboles ne fait pas un polynôme de degré 3.

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Auteur du sujet

Salut, ce n'est pas une interprétation, c'est plutôt une ébauche de raisonnement. Au vu de tes remarques, il faut le revoir en partie, dommage pour la satisfaction personnelle mais j'imagine que c'est normal, hein. ;-)

" On veut réaliser un toboggan pour les enfants selon le schéma ci-contre et qui se termine en pente douce. Il doit donc vérifier les conditions suivantes :

C1 : il doit avoir une tangente A parallèle au sol; C2 : il doit être tangent au sol au point B.

Le but du problème est de trouver une fonction dont la courbe représentative a l'allure du toboggan et vérifie les conditions de l'énoncé. "

Cf edit du message au dessus : L'idée est que le point d'intersection des deux paraboles est le point d'inflexion de la courbe du polynôme de degré 3. Toutefois, si on souhaite déduire l'équation des deux paraboles en résolvant l'équation f(2) = g(2), il y a une infinité de possibilité étant donné les trois coefs. J'ajoute ainsi les conditions: dans l'intervalle [0,2], on a concavité puis dans l'intervalle [2,4], on a convexité d'où f'(x) avec Df' = [0,2] est décroissante, l'inverse pour g'(x).

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

On veut réaliser un toboggan pour les enfants selon le schéma ci-contre et qui se termine en pente douce. Il doit donc vérifier les conditions suivantes : C1 : il doit avoir une tangente A parallèle au sol; C2 : il doit être tangent au sol au point B.

OK, c'est beaucoup plus clair vu comme ça. Ton idée de coller deux paraboles était du coup pas mauvaise, puisque ça te fait deux points où la dérivée horizontale est nulle. Le problème en faisant comme ça, c'est qu'on ne peut pas combiner les deux équations facilement pour une faire une seule.

Tu avais en revanche bon à propos d'autre chose, ton histoire de polynôme d'ordre 3. Un polynôme d'ordre 3 est suffisant pour avoir deux points de dérivée nulle.

Donc travaille directement avec une expression d'ordre 3 pour chercher (et trouver !) la fonction qui t'intéresse. Liste l'ensemble des conditions que tu as, et tu devrais trouver une expression pas trop difficilement. :)

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Staff

Juste pour info, je viens d'essayer pour un tobogan de hauteur $H$ et de longueur $L$, ça marche très bien.

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Staff

J'ai peut-être raté cette partie, mais il est dit quelque part qu'il faut que ce soit un polynôme ? C'est juste une condition que tu t'étais imposée toi-même, ou c'est dans l'énoncé ? En partant sur une tangente hyperbolique, ça me semble encore plus facile.

Rockaround

Ou un bon vieux cosinus, la pente est plus soft quand même. :-°

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Auteur du sujet

J'ai peut-être raté cette partie, mais il est dit quelque part qu'il faut que ce soit un polynôme ? C'est juste une condition que tu t'étais imposée toi-même, ou c'est dans l'énoncé ? En partant sur une tangente hyperbolique, ça me semble encore plus facile.

Rockaround

Ou un bon vieux cosinus, la pente est plus soft quand même. :-°

adri1

Salut Rockaround, c'est l'objet de notre DM, lors du chapitre sur la dérivation, on est pas encore dans la trigo donc oui, c'est un polynôme normalement. Après, c'est un devoir libre…

Éternel curieux

+0 -0
Auteur du sujet

Je bloque… :-°

Je calcul la dérivée seconde : $f''(x) = 6ax + 2b$

Donc logiquement, elle s'annule en son point d'inflexion : $f''(2) = 12a + 2b = 0$

Avec un petit système, je trouve :

  • $ a = 1/16$
  • $ b = -3/8$

Pour trouver c, je remonte vers la dérivée première : $f'(2) = 6a + 4b + c$ où j'entre les valeurs de a et b :

$f'(2) = -9/4 + c$

Le problème, c'est que je ne connais pas la valeur de f'(2), je ne peut pas effectuer l'équation pour trouver c. Si j'avais trouver la valeur, j'aurais tous simplement remonter vers la fonction f(x) pour trouver d. :-)

EDIT :

Finalement, j'ai pris $f'(4) = 0$ selon le point B de coordonnée (4,0), donc le long de l'axe des abscisses qui est une droite constante, soit $a = 0$. Je trouve ainsi c = 0.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

+0 -0
Staff

Tu as trouvé la solution, c'est l'essentiel ! Marque le sujet en résolu du coup, s'il te plaît.

Par contre t'es compliqué la vie pour rien. En partant de $z(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, on a $z(x=0)=d=H$, $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}(x=0)=c=0$. Puis les deux conditions restantes $z(x=L)=aL^3+bL^2+H=0$ et $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}(x=L)=3aL^2+2bL=0$ donnent un système linéaire permettant de trouver $a=\dfrac{2H}{L^3}$ et $b=-\dfrac{3H}{L^2}$. Pas besoin de passer par la dérivée seconde, le problème donnait déjà toutes les infos nécessaires brutes de pomme.

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Auteur du sujet

C'est vrai, il est difficile de trouver le chemin le moins tortueux en math! Toutefois, je te remercie d'avoir poster ton raisonnement. Pour ma part, le prof veux notre propre cheminement, à la différence d'une épreuve brute.

Éternel curieux

+0 -0
Auteur du sujet

$\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}(x=0)=c=0$

Je ne comprend pas très bien cette partie… On dirait une équation différentielle?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

+0 -0
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