Bloqué sur une relation de Chasles et représentation du plan

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Auteur du sujet

Hey ! :)

Problème n°1

Je bloque un peu sur un exercice avec du Chasles. Voici ce que l'on me dit :

Soit ABCD un tétraèdre.
On considère les points K, L et E définis par :

$$ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\\ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}\\ $$

Démontrez que $\overrightarrow{KE} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}$

Voici ce que j'ai pondu pour le moment :

$$ -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CD} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}\\ = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}\\ = \frac{3}{4}\overrightarrow{AK} + \frac{3}{4}\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BE}\\ = \frac{3}{4}\overrightarrow{AK} + \frac{7}{4}\overrightarrow{KE} $$
C'est bien, mais ça m'avance pas beaucoup…

Problème n°2

Je ne sais absolument pas si on a vu ça en cours, j'ai demandé aux autres de ma classe et ils ne savent pas non plus. Du coup je pose la question là afin de savoir si quelqu'un peut m'expliquer comment résoudre une telle chose :

Soit $\mathscr{P}$ le plan d'équation $2x+y-5z+3=0$ et (d) la droite de représentation paramétrique :

$$ \begin{cases} x = 7 + 2t\\ y = -1 - t\\ z = 2 + t\\ \end{cases} $$

Déterminez l'intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite (d).

Je vous remercie de votre aide !

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Salut,

Pour le problème n°1, je te conseille de faire le calcul en partant de $\overrightarrow{KE}$ et en déroulant le calcul. En quatre lignes tu devrais t'en sortir.

Pour le problème numéro 2, tu as 4 inconnues (x,y,z,t) et 4 équations linéaires… donc il y a des chances de pouvoir résoudre. Pour démarrer, remplace les expressions de x, y , z dans l'équation du plan. Tu trouves une équation sur t, et je te laisse finir.

Édité par Aabu

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Pour le problème nº 1, je te recommanderais au contraire de partir de la première définition que l’on te donne, à savoir :

$$ \begin{align} & \overrightarrow{AK} &= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\\ ⇔ \ & \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} &= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\\ ⇔ \ & \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{KE} &= \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \end{align} $$

Et à partir de là, tu devrais t’en sortir.

#JeSuisGrimur #OnVautMieuxQueÇa

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Auteur du sujet

Ah ouais, il faut partir du $\overrightarrow{KE}$. Bah du coup, j'ai trouvé, merci !

Pour le problème nº 1, je te recommanderais au contraire de partir de la première définition que l’on te donne C'est vrai que la réponse est encore plus évidente comme ça, mais j'y penserais jamais en DS de partir d'une donnée comme celle-ci…

Pour le point d'intersection, je le trouve en $x = 13, y = -4, z = 5$.

Merci de votre aide !

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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