Cours de S.poirier : deux questions

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Bonjour,

Je lis en ce moment un petit cours de Sylvain Poirier : Un autre regard sur les mathématiques.

C'est introduit comme ça dans son cours, à la partie 7 Redéfinition d'un espace affine de dimension n : pourquoi si la "masse" d'un élément d'un espace vectoriel $E$ est égale à 1, alors cet élément est un point? Même question, pour m(élément de $E$) = 0

Si on parle d'espace vectoriel de dimension n+1, c'est parce que l'on prend en compte la masse? Sinon, pourquoi?

Merci pour les éclaircissements. :ange:

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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En fait il s'agit de projeter. Il faut imaginer des ombres chinoises. Les points sont les éléments sur la toile (c'est à dire sur l'hyperplan d'équation $m=1$).

Mais pour faire les mouvements sur la toile, il faut bouger dans un espace de dimension 1 de plus.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Donc c'est une sorte de transition espace affine-vectoriel? Le membre ρττ, avec qui j'ai eu une longue discussion mais qui attends toujours du travail de ma part, parlait "d'espace vectoriel libre sur espace affine". Sinon, l'image est très instructive, merci de ta réponse. :-)

Éternel curieux

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Staff

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En fait, pour bien t'expliquer ce point de vue, il faudrait que tu me dises ce que tu entends par espace affine.

Ce que rototo doit vouloir dire, c'est qu'on peut écrire un espace affine de dimension $n$n, $\mathbb{A}$, comme la donnée d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et d'un point de base (l'origine, disons $O$). Les points de ton espace affine sont alors les vecteurs $\vec{OA}=v\in E$.

Maintenant, l'auteur que tu as donné donne une vision projective. Il s'agit de considérer un espace vectoriel plus grand, $E$, de dimension $n+1$. Et là, on ne prend pas de point de base mais on choisit un sous-espace vectoriel de dimension $n$ : c'est-à-dire un hyperplan défini par une équation affine $m(v)= 1$.

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Pour mettre en contexte, le but était d'expliquer à Ozmox que l'on pouvait « mélanger » points et vecteurs, avec la loi $A + \overrightarrow{AB} = B$. On peut placer les points et les vecteurs ensemble, dans un espace vectoriel de dimension 1 de plus que la dimension d'origine. J'avais donné à cet espace le nom de « espace points-vecteurs », parce que c'était plus pratique de le nommer. Plus loin dans la discussion, j'avais donc précisé que c'était juste un nom que j'avais inventé ici, et qu'un meilleur nom serait peut-être « espace vectoriel libre sur un espace affine », mais sans l'expliquer.

Je ne comptais pas expliquer ce qui suit à Ozmox, mais pour ceux qui veulent voici.

Un espace vectoriel peut être considéré comme un espace affine pointé (par l'origine). L'oubli de ce point donne un « foncteur d'oubli » (pas vers les ensembles, donc pas vraiment), et ce qui nous intéresse est le foncteur libre associé. Ce foncteur ajoute une origine générique (on ajoute un point avec un coproduit), et donc on ajoute une dimension.
L'hyperplan (inclusion de l'espace affine d'origine), c'est l'unité de cette adjonction. Et la forme linéaire « masse » est obtenue en envoyant cet hyperplan sur 1 et l'origine sur 0 (« fonction caractéristique », comme avec les ensembles, en remplaçant {⟂,⊤} par le corps de base pointé par 0 et 1).

Sinon, je n'ai pas compris ce que ça veut dire qu'il faut bouger dans un espace de dimension 1 de plus pour faire des mouvements sur la toile. Pourrais-tu m'expliquer ?

Entre parenthèses, je vois que ça ressemble à la notion de carte affine, mais je ne qualifierais pas la construction de projective…

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Auteur du sujet

Je découvre en effet à petits pas le monde de la géométrie. Je ne comprends pas tout les concepts, c'est donc pour cela que je lis ce genre de cours.

Si on considère cette "vision projective" alors on a un espace vectoriel $E$ de dimension n+1 avec un hyperplan V (sous-espace vectoriel de $E$) d'équation affine m(v) = 1. Donc m est une application linéaire de $E$ dans l'hyperplan associé?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Sinon, je n'ai pas compris ce que ça veut dire qu'il faut bouger dans un espace de dimension 1 de plus pour faire des mouvements sur la toile. Pourrais-tu m'expliquer ?

Entre parenthèses, je vois que ça ressemble à la notion de carte affine, mais je ne qualifierais pas la construction de projective…

ρττ

Bah en fait tu as répondu à ta question, c'est exactement la notion de carte affine. Ici, on parle même de la carte affine $m=1$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Juste pour info, parce que je ne veux pas utiliser ce terme à tort : qu'est-ce que tu appelle hyperplan? Pourquoi pas simplement partie ou sous-ensemble de $E$?

Éternel curieux

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Staff

Un hyperplan est un sous-espace de codimension $1$, c'est-à-dire un sous-espace de dimension $n-1$ si ton espace vectoriel est de dimension finie $n$.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Pour résumer, l'idée est de prendre un espace vectoriel $E$ de dimension n+1 et de considérer la masse de ses points pondérés comme une application linéaire de $E$ vers un hyperplan de cet espace vectoriel et de dimension n?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Je crois qu'on ne fait que t'embrouiller… On ne peut pas avoir une application linéaire vers un hyperplan : un hyperplan n'est pas un espace vectoriel (on ne peut pas sommer deux de ses points), mais par contre c'est un espace affine (on peut prendre des barycentres). Tu écris toi-même « m(v) = 1 ». Mais 1 n'est pas un élément d'un hyperplan.

On considère une application linéaire m de E vers ℝ qui à un « point généralisé » (un élément de E) associe sa masse (les points normaux étant ceux dont la masse est 1). Le fait que m soit une application linéaire veut dire que quand on somme deux points généralisés, leurs masses sont additionnées, et quand on multiplie un point généralisé par un scalaire (un nombre réel), sa masse l'est aussi. Ça a pour conséquence que si A et B sont deux points normaux (c'est-à-dire que m(A) = 1 et m(B) = 1), alors $\frac{A+B}{2}$ est aussi un point normal : le milieu de [AB]. Vois-tu comment le justifier en utilisant la linéarité de m ?

Il faudrait déjà que tu comprennes les notions de noyau et de quotient en algèbre linéaire. Je t'avais donné un lien vers ces notes, mais c'était surtout parce que tu demandais une source de l'idée d'espace vectoriel libre sur un espace affine. Peut-être qu'un cours plus standard serait plus adapté (par exemple je trouve la construction du quotient pas très directe, et telle qu'énoncée ne fonctionne qu'en dimension finie (l'auteur s'y restreint je crois)1). Ça posera les bases clairement et tu sauras plus de quoi tu parles. Mais comme je t'avais dit, aucun de ceux que j'ai vu ne m'a convaincu au point de le conseiller plutôt qu'un autre (on en trouve plein sur internet).


@Holosmos : Je viens de relire la partie 7 et j'avais oublié que ça parlait aussi de géométrie projective, donc je comprends mieux.

Par contre, je ne suis pas convaincu. Le seul lien que je vois, c'est qu'on a un hyperplan qui ne passe pas par l'origine, mais je crois que ça s'arrête là.

edit

Bah en fait tu as répondu à ta question, c'est exactement la notion de carte affine. Ici, on parle même de la carte affine $m=1$.

Ah, pour moi une carte affine c'est l'espace projectif privé d'un hyperplan à l'infini, et sur lequel on a une structure d'espace affine. Il n'y a pas de différence entre les « cartes affines » m=1 et m=2, c'est juste des représentations de la carte affine associée à l'hyperplan m=0. Enfin, ça doit dépendre des conventions.


  1. On a un isomorphisme $(E/F)^* \cong F^\bot$. Donc $E/F$ est un sous-espace de $(F^\bot)^*$. L'idée est de confondre deux vecteurs $u$ et $v$ si on ne peut les distinguer par les formes linéaires de $F^\bot$ (autrement dit, si une forme linéaire confond les vecteurs de $F$, alors elle confond $u$ et $v$). On envoie alors un vecteur de $E$ sur la forme linéaire qu'il définit sur $F^\bot$, et les vecteurs définissant la même forme linéaire sont ceux qui sont confondus par toutes les formes linéaires de $F^\bot$. L'image de $E$ dans $(F^\bot)^*$ est donc $E/F$. En plus ça aurait été bien de caractériser le quotient avant de le construire, et je sais pas si le lien avec le noyau est bien fait. 

Édité par blo yhg

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Pour résumer, l'idée est de prendre un espace vectoriel $E$ de dimension n+1 et de considérer la masse de ses points pondérés comme une application linéaire de $E$ vers un hyperplan de cet espace vectoriel et de dimension n?

Ozmox

Nope.

Ce qu'on appelle ici la masse, c'est une application linéaire $m : E\to \mathbf{R}$, on parle aussi de forme linéaire.

Un hyperplan, c'est un sous-espace vectoriel décrit par l'équation $m(v)=0$ (on peut montrer qu'il s'agit d'un espace de dimension $n-1$ pour peu que $m$ soit pas toujours nulle).

Quand on regarde l'équation $m(v) =1$, on a un hyperplan affine.

Bah en fait tu as répondu à ta question, c'est exactement la notion de carte affine. Ici, on parle même de la carte affine $m=1$.

Ah, pour moi une carte affine c'est l'espace projectif privé d'un hyperplan à l'infini, et sur lequel on a une structure d'espace affine. Il n'y a pas de différence entre les « cartes affines » m=1 et m=2, c'est juste des représentations de la carte affine associée à l'hyperplan m=0. Enfin, ça doit dépendre des conventions.

ρττ

Formellement, un carte affine est un homéomorphisme sur son image $\varphi : U\to \mathbf{R}^n$$U$ est un ouvert de $\mathbf{RP}^n$.

Il faut bien voir qu'ici, on prend pour ouvert l'ensemble $m=1$ et avec pour application l'injection canonique. C'est pour ça qu'on parle plus rapidement de carte $m=1$, en laissant de côté la formulation formelle qui découle de celle ci si on prend les bonnes applications.

Il n'y a pas de différence entre $m=1$ et $m=2$ mais par contre, il y a une énorme différence avec $m=0$ !!!

Si tu prends l'espace projectif $\mathbf{RP}^2$, que tu prennes la carte $y=1$ pour les coordonnées $(x:y)$ ou $y=0$, tu as deux espaces totalement différents. Dans le premier cas, ton application sera $(x:y)\mapsto x/y$ et dans le second $(x:y)\mapsto \infty$.

De manière générale, la carte $m=0$ est un hyperplan à l'infini.

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Auteur du sujet

Ça a pour conséquence que si A et B sont deux points normaux (c'est-à-dire que m(A) = 1 et m(B) = 1), alors $\frac{A+B}{2}$ est aussi un point normal : le milieu de [AB]. Vois-tu comment le justifier en utilisant la linéarité de m ?

ρττ

Oui, car on considère $m(A)$ et $m(B) = 1$ (autrement dit, ils appartiennent à l'hyperplan affine d'équation m = 1).

On cherche la masse $m(\dfrac{A+B}{2}) = m((A+B)\dfrac{1}{2})$.

D'après les propriétés additives et homogènes d'une application linéaire, cette masse équivaut à : $\dfrac{1}{2} m(A+B) = \dfrac{1}{2}[m(A) + m(B)] = 2(\dfrac{1}{2}) = 1$

Donc $\dfrac{A+B}{2}$ appartient bien à l'hyperplan affine de dimension m = 1. :-)

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Oui, car on considère $m(A)$ et $m(B) = 1$ (autrement dit, ils appartiennent à un hyperplan affine d'équation m = 1). Source :Ozmox

Une remarque de français (mais qui pourrait révéler une incompréhension, il s'agit de l'hyperplan affine d'équation $m=1$ (y en a pas d'autre).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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@Holosmos : Je ne vois pas ce que tu veux dire par la carte affine m=0.1 Tu parles de (x:y) ↦ ∞, mais ça n'est pas une fonction de P(ℝ²) dans ℝ… ?

Sinon, j'avais parlé d'hyperplan pour dire hyperplan affine. J'ai l'impression que c'est plus conventionnel en français de dire hyperplan pour hyperplan vectoriel (enfin, en théorie on a soit un espace affine soit un espace vectoriel, mais en pratique, de manière similaire, on fait pas la différence entre le 0 de ℝ et le 0 de ℕ).


  1. J'avais juste parlé de la carte affine qui lui est associée, en prenant comme ouvert le complémentaire de l'hyperplan projectif m=0. 

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Staff

Justement c'est pas une carte affine.

Après lecture de ta note je me rends compte que tu parles d'une carte et de son complémentaire de la même manière, ce qui est pas super clair.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Justement c'est pas une carte affine.

Ah ok, j'avais mal compris.

Après lecture de ta note je me rends compte que tu parles d'une carte et de son complémentaire de la même manière, ce qui est pas super clair.

Oui, je suis d'accord que c'est pas clair, mais je ne note pas de la même manière. Je parle juste de la carte affine associée à m=0. Je disais « carte affine m=0 » parce que j'avais cru que tu parlais de ça, mais tu disais juste « carte ». C'est quoi ce que tu entends par la carte m=0 ?

edit : enfin, je veux dire, c'est quoi une carte tout court ?

Édité par blo yhg

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Auteur du sujet

Au passage, rototo, je t'ai envoyé quelques mp. Quand je parle de famille, je parle de famille de n éléments dans $E$ et dans $K$ mais ça serait plutôt dans $E^n$ et $K^n$.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

enfin, je veux dire, c'est quoi une carte tout court ?

Déjà dit :

Formellement, un carte affine est un homéomorphisme sur son image $\varphi : U\to \mathbf{R}^n$$U$ est un ouvert de $\mathbf{RP}^n$.

Holosmos

Peut-être que ce qui te gêne c'est qu'on ne peux pas décomposer $\mathbf{RP}^n$ comme l'union d'une carte affine et de son complémentaire. En fait, on a $\mathbf{RP}^n \simeq \mathbf{R}^n\cup \mathbf{RP}^{n-1}$. C'est pour ça qu'on peut pas parler de l'hyperplan $m=0$ comme d'une carte, car $\mathbf{RP}^{n-1}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbf{R}^n$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Tu dis « la carte m=0 est un hyperplan à l'infini ». Tu parles aussi de (x:y) ↦ ∞. Ça voulait dire quoi ? C'était juste ça ma question. Comme tu n'avais pas mis « affine » après « carte », je pensais que tu parlais de quelque chose d'autre.

Peut-être que tu voulais simplement dire « l'hyperplan m=0 » au lieu de « la carte m=0 », mais je vois toujours pas ce qu'est ce (x:y) ↦ ∞ (tu dis que c'est « la carte y=0 » d'après ce que je lis, et je comprends rien parce que c'est pas une carte affine, donc je demande ce qu'est une carte tout court).

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