Etudier la convergence d'une suite un peu spéciale

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je dois determiner si la suite suivante est convergente.

On considère la suite u définie pour $n \geq 1$, par

$$U_{n} = \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n)$$

J'ai pensé à l'encadrer, et j'arrive a conjecturer qu'elle est toujours inférieur ou égale à 1. Cependant, elle me semble être à tendance décroissante (je ne connais pas le nom) mais monotone.

De ce que j'ai appris pour dire qu'une suite est convergente, on doit trouver qu'elle est majorée/minorée et croissante/décroissante.

Ce qui me semble dur à montrer ici.

Auriez vous des pistes de départ?

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

Salut,

Je ne crois pas que la suite soit décroissante. Minorée c'est facile à prouver par contre. Tu ne pourras pas utiliser le théorème que tu cites.

Edit. : Je t'invite à regarder du côté des théorèmes sur les suites extraites. Ça marche pas facilement.

Édité par Aabu

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Auteur du sujet

Merci, je crois que j'ai réussi. J'avais juste pas d'idée pour partir :)

Du coup je trouve:

$$\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n) \leq \dfrac{20}{n} $$

avec le théorème des gendarmes: $\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n) = 0$

La suite admet pour limite 0 donc elle est convergente.

C'est bien ça ?

EDIT: il doit y avoir un problème de mise en forme pour la limite. Quelqu'un peut me dire ce qui ne va pas?

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

C'est bien ça ?

Ça m'en a tout l'air. :)

EDIT: il doit y avoir un problème de mise en forme pour la limite. Quelqu'un peut me dire ce qui ne va pas?

Unknown

C'est normal (même comportement que latex) :

Math inline latex $\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n)$ ($\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n)$).

Math bloc,

$$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n)$$

1
2
3
%ligne vide
$$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n} * pgcd(20;n)$$
%autre ligne vide

Au passage, tu peux mettre "$\times$" (\times) plutôt que "*" dans les formules.

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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