Ok, j'ai donc fait une relecture.
Si E est un ensemble quelconque, on peut définir son cardinal, qui est le nombre d'éléments le composant.
Si on voulait être précis (et juste), le cardinal c'est une classe d'équivalence sur les ensembles (avec la relation « être en bijection ».
Donc c'est peut-être un peu périlleux de le faire de la façon que tu l'as fait (avec les mains). Pour moi c'est ok, mais sache que formellement ça ressemble pas à ça (parce qu'on sait plus dire ce que ça veut dire « nombre d'éléments »).
De manière plus visuelle, c'est comme si vous aviez une très grosse boite, et que pour des raisons pratiques, vous décidiez d'en ranger l'entièreté de son contenu dans des plus petites boites. Dans ce cas, tout objet qui se situait dans votre grosse boite initiale finira dans une des plus petites boites (pour des raisons pratiques, on ne va pas s'encombrer de boites vides !) et de plus, chaque objet ne peut se trouver que dans une seule boite à la fois : hors de question de couper son album préféré en plusieurs afin qu'il soit rangé dans deux boites distinctes.
L'idée de la partition de musique me semble plus directe :). D'ailleurs je pense que le vocabulaire vient de là (mais faudrait vérifier pour le dire sérieusement).
Une partition de musique, ça sert à répartir les phrases musicales aux différents acteurs. La partition d'un ensemble permet de répartir ses éléments dans des ensembles plus faciles à manipuler.
De plus, dans ta description qui suit, tu as oublié de demander le recouvrement de $E$ par les $F_i$.
J'ai rapidement survolé la suite, ça a l'air propre est bien fourni. Je laisse donc le boulot à la validation.
Cependant, j'aimerais te soumettre une version différente de l'illustration de la notion de relation d'équivalence.
Imaginons que les lettres $a,b,c,\dots$ représentent les éléments d'un ensemble $E$. Si jamais il y en a plus que $26$, on peut toujours utiliser les lettres $x_i$ avec $i$ parcourant un ensemble convenable (de même cardinal).
Le jeu est le suivant : on veut connaître les mots que l'on peut composer (à partir d'une première liste, qui est celle donnée quand on décrit la relation). Les règles de composition sont les suivantes :
- (réflexivité) : on peut toujours écrire $xx$ ;
- (symétrie) : si on a un mot $ab$ alors on peut le réécrire $ba$ ;
- (transitivité) : si on a $ab$ et $bc$ alors on a $ac$ (ce qui revient à simplifier l'écriture $xx$).
Cette illustration en termes de mots me semble plus simple et plus en cohérence avec l'algèbre moderne, où on peut souvent faire une interprétation en termes de mots et de gestes. C'est le genre de mécanisme qu'on met aussi en place quand on veut parler de somme amalgamée par exemple …
).
