Les relations d'équivalence

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Tout le monde se secoue ! :D

J'ai commencé (jeudi 16 juin 2016 à 13h24) la rédaction d'un tutoriel au doux nom de « Les relations d'équivalence » et j'ai dans l'objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limite pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l'adresse suivante :

Merci !


Salut !

j'ai à peu près mis tout ce que je voulais mettre dans ce petit cours sur les relations d'équivalence. Vous en pensez quoi, surtout au niveau pédagogique ? Le cours vous semble-t-il bien construit et pédagogiquement intéressant ? J'ai tenté d'illustrer au maximum et de laisser quelques exercices pendant le cours, mais j'attends vos avis.

Sinon, le style d'écriture est first shot et n'a donc pas encore été retravaillé. Il faudrait probablement quelque chose de plus léger et plus espacé (les remarques que l'on me fait habituellement ;) ).

De plus, si quelqu'un a une idée pour un sous-titre, et également pour un titre un brin plus attrayant, c'est également bienvenu.

Merci d'avance à tous ceux qui s'y intéresseront ! :)

Édité par Bermudes

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Yop, voici une première lecture (commentaires dans l'ordre de ma lecture).

En mathématique, les relations d'équivalence représentent un outil très important dès que l'on travaille sur des ensembles.

En fait c'est un peu différent. La notion d'équivalence est une notion de logique (pas nécessairement ensembliste).

nous allons voir ce qu'elles sont, comment les définir

On ne définit la notion d'équivalence qu'une seule fois. Mais on peut donner des exemples.

Si E est un ensemble quelconque, on peut définir son cardinal, qui est la valeur d'éléments le composant

Non : le cardinal (d'un ensemble fini) c'est le nombre d'éléments qui le composent (ça ne dépend pas des valeurs des éléments).

Lorsque l'on a deux ensembles (qui peuvent être distincts — c'est-à-dire différent — ou identiques), on peut définir une opération dessus

C'est pas très joli, retire de le « dessus »

On veut pour cela qu'une relation d'équivalence soit une relation mais avec certaines propriétés intéressantes.

Pourquoi sont-elles intéressantes ?

Prenons maintenant un autre exemple : la relation d'identité

Il s'agit de la relation d'égalité.

Vu que ceci est assez important, on a une notation pour cet ensemble : on note l'ensemble des classes d'équivalence de la relation ∼ dans l'ensemble E par « E/∼ » que l'on lit E quotienté ∼.

Bon c'est dit de manière assez naïve. On voit pas trop pourquoi c'est important.

Dire que les classes d'équivalences sont bien définies d'un point de vue mathématique signifie que peu importe l'élément de la classe que l'on va utiliser pour la définir, la classe résultante sera toujours la même.

Pas compris.

On dit finalement qu'il existe un ensemble infini qui contient 0, son successeur, le successeur du successeur, le successeur du successeur de son successeur, etc. Et on appelle cet ensemble l'ensemble des nombres naturels et on le note ℕ.

Ce n'est pas tout à fait ça. A priori, on pourrait avoir d'autres modèles d'ensemble des nombres entiers. Et en fait il y en a : ce sont des ensembles strictement plus gros mais qui sont encore modèle de ces axiomes. Donc il faut préciser.

Bref, on peut considérer que l'ensemble des nombres naturels existe parce que l'on suppose qu'il existe. C'est le principe de l'axiomatique en mathématique (sur lequel je ne vais pas m'étendre).

C'est plus subtile.


Globalement c'est pas mal. Mais le formalisme est étrange : utiliser autant de notations n'apporte rien si ce n'est pas réutilisé dans ton texte et tu rappelles ce que c'est qu'un cardinal sans rappeler le sens de l'écriture $\{x:P(x)\}$ lorsque tu définis des ensembles.

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Auteur du sujet

Salut Holosmos !

  1. Oui les relations en soi sont une partie de la logique, mais c'est obligatoirement sur un ensemble que ça agit. Donc c'est lorsque l'on manipule des ensembles que l'on a besoin des relations. Mais je vois effectivement ce que tu veux dire sur le fait que c'est pas explicite.

  2. ok.

  3. Oui ça, ça sent l'erreur de cut & paste (de toute façon, telle quelle, la phrase ne veut rien dire).

  4. ok.

  5. l'objectif de la phrase est de dire « pour définir une relation d'équivalence, on va utiliser la notion de relation, mais on veut la raffiner, et donc on regarde quelles sont les propriétés qui peuvent nous intéresser. » Tu penses qu'il faut expliquer pourquoi ces trois propriétés-là ou tu disais ça pour reformuler cette phrase ?

  6. ok.

  7. Tu proposerais quoi pour reformuler ça ?

  8. ok, je vais reformuler le passage sur le bien défini.

  9. (et 10.) oui, j'ai bien senti qu'l y aurait quelque chose à retravailler ici : je voulais vraiment parler de l'exemple de la construction de $\mathbb Z$ en faisant comprendre que $\mathbb Z$ était globalement le premier ensemble à construire car $\mathbb N$ était donné par l'axiomatique. Cependant, je voulais que le cours reste le plus accessible possible, et je ne voulais pas entrer dans les différentes axiomatiques ensemblistes qui feraient perdre des lecteurs potentiels (dans le sens que le cours serait déjà destiné à un public plus averti). Je voulais donc donner une intuition de ces théories ensemblistes sans rentrer dans le formalisme. Dans ce contexte, je préfère perdre un peu en formalisme et en exactitude pour laisser place à l'intuition. Tu penses que c'est une mauvaise chose ? Ou d'après toi, je dis quelque chose de fondamentalement faux ?

Pour la notation $\{x : P(x)\}$, tu fais bien de le signaler, j'expliciterai juste avant dans la 1e section. Et pour le formalisme, j'aime bien écrire de manière plus formelle après, et selon ma (légère) expérience j'ai remarqué que c'était bien souvent bien reçu. Même si tout le monde ne se sent pas concerné par la notation, c'est toujours bien selon moi que ce soit noté.


Merci pour ta relecture et tes commentaires, et merci pour ça aussi :

Globalement c'est pas mal.

:)

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Oui les relations en soi sont une partie de la logique, mais c'est obligatoirement sur un ensemble que ça agit. Donc c'est lorsque l'on manipule des ensembles que l'on a besoin des relations. Mais je vois effectivement ce que tu veux dire sur le fait que c'est pas explicite.

A priori je vois pas ce qui empêche de parler de relation sur des classes.

l'objectif de la phrase est de dire « pour définir une relation d'équivalence, on va utiliser la notion de relation, mais on veut la raffiner, et donc on regarde quelles sont les propriétés qui peuvent nous intéresser. » Tu penses qu'il faut expliquer pourquoi ces trois propriétés-là ou tu disais ça pour reformuler cette phrase ?

Non je te demande de développer. Tu manipules des notions mais sans les motivées. Tu dis « oui c'est intéressant » mais moi je te demande de répondre à « pourquoi c'est intéressant ».

Tu proposerais quoi pour reformuler ça ?

En fait je vois pas l'intérêt de ce passage.

(et 10.) oui, j'ai bien senti qu'l y aurait quelque chose à retravailler ici : je voulais vraiment parler de l'exemple de la construction de ℤ Z en faisant comprendre que ℤ Z était globalement le premier ensemble à construire car ℕ N était donné par l'axiomatique. Cependant, je voulais que le cours reste le plus accessible possible, et je ne voulais pas entrer dans les différentes axiomatiques ensemblistes qui feraient perdre des lecteurs potentiels (dans le sens que le cours serait déjà destiné à un public plus averti). Je voulais donc donner une intuition de ces théories ensemblistes sans rentrer dans le formalisme. Dans ce contexte, je préfère perdre un peu en formalisme et en exactitude pour laisser place à l'intuition. Tu penses que c'est une mauvaise chose ? Ou d'après toi, je dis quelque chose de fondamentalement faux ?

Paradoxalement c'est moins accessible de parler de la fondation de $\mathbf{N}$ que de supposer ça existant.

Édité par Holosmos

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Auteur du sujet

A priori je vois pas ce qui empêche de parler de relation sur des classes.

Oui mais à nouveau, on peut les considérer comme des ensembles et on en revient à la question initiale.

moi je te demande de répondre à « pourquoi c'est intéressant ».

Ok, je vais voir comment insérer ça.

En fait je vois pas l'intérêt de ce passage.

Tu penses qu'il est préférable de ne pas parler de l'ensemble des classes ? Ou du moins de ne pas poser la notation ? Si c'est le cas, je ne comprends pas bien pourquoi.

Paradoxalement c'est moins accessible de parler de la fondation de $\mathbf{N}$ que de supposer ça existant.

Effectivement, sans rentrer dans l'axiomatique, ça reste assez flou, mais parler de cette axiomatique requiert un niveau plus élevé. Concrètement, tu penses qu'il faudrait aborder cela comment, et donc que changer/adapter dans ce qui a été fait ?

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Oui mais à nouveau, on peut les considérer comme des ensembles et on en revient à la question initiale.

Ça reste différent. J'essaye juste de t'aider à corriger ton texte. Je sais bien ce que tu veux dire et que de toute façon qu'une grosse partie des maths sont juste dans de la théorie des ensembles.

Tu penses qu'il est préférable de ne pas parler de l'ensemble des classes ? Ou du moins de ne pas poser la notation ? Si c'est le cas, je ne comprends pas bien pourquoi.

Qu'est-ce que ça apporte à ton tutoriel ? Il faudrait faire beaucoup plus qu'énoncer une définition si tu veux vraiment exploiter cette question.

Effectivement, sans rentrer dans l'axiomatique, ça reste assez flou, mais parler de cette axiomatique requiert un niveau plus élevé. Concrètement, tu penses qu'il faudrait aborder cela comment, et donc que changer/adapter dans ce qui a été fait ?

Ne pas parler de l'axiomatisation.

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@Bermudes

Sur le contenu, tu dis : Les 3 propriétés nécessaires sont …Réflexive / Transitive / symétrique.

J'aurais mis dans l'ordre classique Réflexive / Symétrique / Transitive. Ainsi quand tu parles de la transitivité et des triangles, tu n'as plus le problème de triangle orienté. Ici tu as parlé de triangle non orienté, sans avoir expliqué auparavant que le sens des flèches n'avait aucune importance.

Sur le style, il y a quelques formulations un peu bizarres, mais ça reste agréable à lire. J'ai juste trouvé que tu en avais fait trop sur la façon de définir les entiers en particulier, la fin :

Bref, on peut considérer que l'ensemble des nombres naturels existe parce que l'on suppose qu'il existe. C'est le principe de l'axiomatique en mathématique (sur lequel je ne vais pas m'étendre). Cependant, l'existence de l'ensemble des entiers n'est pas axiomatique. Il faut définir cet ensemble sur base de ce que l'on connaît déjà, à savoir l'ensemble des naturels.

Oupsss ! je me serais bien passé de ça.

Comme exemple de classe d'équivalence, on peut aussi trouver des exemples en-dehors du domaine mathématique. Par exemple, la relation définie par : xRy si et seulement si l'année de naissance de x finit par le même chiffre que l'année de naissance de y, et s'ils sont nés dans la même commune. On vérifie aisément que c'est une relation d'équivalence.

Et si je prends cet exemple précis, ce n'est pas par hasard. En effet, on parle dans certaines régions de 'fête des classes' = fête des individus d'une même classe d'équivalence. cf ici Mais je ne jurerais pas que l'origine de l'expression 'Fête des Classes' vient du terme mathématique "Classe d'équivalence"

Édité par elegance

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Auteur du sujet

Ça reste différent. J'essaye juste de t'aider à corriger ton texte. Je sais bien ce que tu veux dire et que de toute façon qu'une grosse partie des maths sont juste dans de la théorie des ensembles.

Je l'ai bien compris, mais de mon point de vue, à part les logiciens (forcément…), on fait rarement de la logique pour faire de la logique. On fait habituellement de la logique élémentaire en première année d'études supérieures et puis on s'en sert implicitement. Cela fait qu'avant d'entrer en sup, on n'en a pas entendu parler, et qu'après on ne l'utilise plus telle quelle. Et comme j'essaye de rendre ce cours accessible à des étudiants de secondaire supérieur, je ne voulais pas trop restreindre.

Mais tu as en effet raison, au sens strict, les relations font partie de la logique. Je reformulerai.

Qu'est-ce que ça apporte à ton tutoriel ? Il faudrait faire beaucoup plus qu'énoncer une définition si tu veux vraiment exploiter cette question.

J'en parle globalement pour formaliser, et puis parce que lorsque l'on définit $\mathbb Z$, on le définit par l'ensemble des classes. Et donc on peut écrire $\mathbb Z = \mathbb N^2 /\!\sim_{\mathbb Z}$. Donc on le réutilise. Après, je ne sais pas vraiment ce que l'on pourrait dire de plus : ce qui est intéressant, ce sont les classes en elles-même. L'ensemble des classes n'est qu'un formalisme.

Ne pas parler de l'axiomatisation.

Je me contenterais de dire que l'on peut considérer que l'ensemble des naturels existe et puis directement commencer la construction des entiers ?


Salut elegance, merci !

J'aurais mis dans l'ordre classique Réflexive / Symétrique / Transitive. Ainsi quand tu parles de la transitivité et des triangles, tu n'as plus le problème de triangle orienté. Ici tu as parlé de triangle non orienté, sans avoir expliqué auparavant que le sens des flèches n'avait aucune importance.

Oui, c'est pertinent.

Concernant ton exemple, en effet, on peut appliquer la relation d'égalité sur un champ d'un objet plus complexe.

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Bien, je vais essayer d'apporter mon modeste avis sur ton article x)

  • Quel est le public que tu vises ? Parce que les quantificateurs sont vus au niveau L1, et les relations d'équivalence aussi, du coup, il serait intéressant de mettre par exemple, la traduction en français de tes quantifications, en dessous de ces dernières (tu le fais a la fin mais pas au début) De meme, tu ne définis pas dans les prérequis les partitions …

  • "toujorus" dans le tuto, fait un petit ctrl-f pour corriger la faute :)

  • La remarque sur le démontrer par l'exemple ne me semble pas très claire (enfin, a moi si mais je doute que ma petite sœur comprenne :p). Au lieu de dire que c'est possible de démontrer par l'exemple dans le cas d'une existence, tu devrais dire l'"inverse" : qu'ici on cherche a prouver que quelque chose est vrai pour tout, et du coup un ou plusieurs cas particulier ne suffisent pas a montrer que c'est vrai pour les autres cas (tu pourrais ptet dire un truc du genre : ils faudrait tester tout les cas, mais il y en a une infinité donc il faut procéder autrement ?)

  • Pourquoi juste les relations d'équivalence ? Comme tu l'as dit, il y a d'autres types de relations, et ça tombe bien, elles nécessitent a peu près les memes connaissances pour etre abordée de cette manière, ca vaudrait le coup de les faires d'un coup non ? (A près évidemment c'est plus long, je comprends complètement qu'on ne veuille pas le faire)

C'est tout pour le moment, faute de temps je dois m’arrêter a définition des entiers, je reprendrais ma lecture plus tard.

En tout cas, c'est du bon boulot ! Je sais a quel point c'est dur et long d'écrire un tuto, meme court, alors bravo !

Tous les crétois sont menteurs. Livres Recommandés : C++ Primer 5, SFML Game Development

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Auteur du sujet

Après une petite absence (les vacances, ça fait du bien de temps en temps !), j'ai continué ce petit cours ! la mise à jour suivra bientôt.

Par rapport à ce que tu disais, val, sur les quantificateurs, je dois admettre que je suis embêté : je n'ai pas envie de mettre ça dans les rappels car on sortirait du propos principal, et que ça mettrait longtemps à s'expliquer (toutes proportions gardées avec la longueur de ce cours), mais en même temps, dire que c'est un prérequis serait un peu contradictoire par rapport au public visé.

je pense que le mieux est de le mettre en prérequis (même si pas nécessaire à la compréhension générale du propos) et de voir si un cours de logique fondamentale est en cours de rédaction.

Sinon, j'ai choisi de parler uniquement des relations d'équivalence car je sais à quel point il est long d'écrire et que j'ai finalement assez peu de temps à y consacrer. Dès lors, viser trop large serait un coup à ne jamais publier mon cours. Je préfère donc attaquer de plus petits morceaux.


Également, si quelqu'un a une idée pour l'illustration du cours, je suis preneur !

Édité par Bermudes

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Auteur du sujet

Ouah c'est compliqué de taffer sur ses cours en rédaction quand on bosse à côté… :o

la dernière m-à-j contient surtout des reformulations et des refontes d'explications.

J'ai mis tout ce que je voulais y mettre, il est — pour moi — publiable en l'état. Je n'ai donc pas de demandes de relectures particulières, j'aimerais savoir s'il y a pour vous des problèmes.


Et si quelqu'un a une idée d'illustration, je suis toujours preneur. ;)

Sinon merci de relancer Holosmos !

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Ok, j'ai donc fait une relecture.

Si E est un ensemble quelconque, on peut définir son cardinal, qui est le nombre d'éléments le composant.

Si on voulait être précis (et juste), le cardinal c'est une classe d'équivalence sur les ensembles (avec la relation « être en bijection ».

Donc c'est peut-être un peu périlleux de le faire de la façon que tu l'as fait (avec les mains). Pour moi c'est ok, mais sache que formellement ça ressemble pas à ça (parce qu'on sait plus dire ce que ça veut dire « nombre d'éléments »).

De manière plus visuelle, c'est comme si vous aviez une très grosse boite, et que pour des raisons pratiques, vous décidiez d'en ranger l'entièreté de son contenu dans des plus petites boites. Dans ce cas, tout objet qui se situait dans votre grosse boite initiale finira dans une des plus petites boites (pour des raisons pratiques, on ne va pas s'encombrer de boites vides !) et de plus, chaque objet ne peut se trouver que dans une seule boite à la fois : hors de question de couper son album préféré en plusieurs afin qu'il soit rangé dans deux boites distinctes.

L'idée de la partition de musique me semble plus directe :). D'ailleurs je pense que le vocabulaire vient de là (mais faudrait vérifier pour le dire sérieusement).

Une partition de musique, ça sert à répartir les phrases musicales aux différents acteurs. La partition d'un ensemble permet de répartir ses éléments dans des ensembles plus faciles à manipuler.

De plus, dans ta description qui suit, tu as oublié de demander le recouvrement de $E$ par les $F_i$.


J'ai rapidement survolé la suite, ça a l'air propre est bien fourni. Je laisse donc le boulot à la validation.

Cependant, j'aimerais te soumettre une version différente de l'illustration de la notion de relation d'équivalence.

Imaginons que les lettres $a,b,c,\dots$ représentent les éléments d'un ensemble $E$. Si jamais il y en a plus que $26$, on peut toujours utiliser les lettres $x_i$ avec $i$ parcourant un ensemble convenable (de même cardinal).

Le jeu est le suivant : on veut connaître les mots que l'on peut composer (à partir d'une première liste, qui est celle donnée quand on décrit la relation). Les règles de composition sont les suivantes :

  • (réflexivité) : on peut toujours écrire $xx$ ;
  • (symétrie) : si on a un mot $ab$ alors on peut le réécrire $ba$ ;
  • (transitivité) : si on a $ab$ et $bc$ alors on a $ac$ (ce qui revient à simplifier l'écriture $xx$).

Cette illustration en termes de mots me semble plus simple et plus en cohérence avec l'algèbre moderne, où on peut souvent faire une interprétation en termes de mots et de gestes. C'est le genre de mécanisme qu'on met aussi en place quand on veut parler de somme amalgamée par exemple …

Édité par Holosmos

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Auteur du sujet

Merci d'avoir tout relu !

Si on voulait être précis (et juste), le cardinal c'est une classe d'équivalence sur les ensembles (avec la relation « être en bijection ».

Je sais bien. L'objectif étant d'introduire les relations d'équivalence, il est difficile de définir un prérequis avec cette même notion. De plus, la relation est définie sur l'ensemble de tous les ensembles me semble-t-il du coup c'est probablement un peu ardu à expliquer, ne fut-ce qu'en fin du cours. Je demande le minimum syndical en connaissances en théorie des ensembles, du coup je ne veux pas définir précisément des notions un peu moins triviales telles que celle-là.

L'idée de la partition de musique me semble plus directe :). D'ailleurs je pense que le vocabulaire vient de là (mais faudrait vérifier pour le dire sérieusement).

Une partition de musique, ça sert à répartir les phrases musicales aux différents acteurs. La partition d'un ensemble permet de répartir ses éléments dans des ensembles plus faciles à manipuler.

Ça n'engage que moi, mais l'image des partitions de musique ne m'a jamais aidé/attiré. Je préfère — à nouveau personnellement — l'image des boites.

De plus, dans ta description qui suit, tu as oublié de demander le recouvrement de $E$ par les $F_i$.

Bah il est mis Dans ce cas, tout objet qui se situait dans votre grosse boite initiale finira dans une des plus petites boites. Le recouvrement est donc bien là (pas sous le même terme mais il est là).

J'ai rapidement survolé la suite, ça a l'air propre est bien fourni. Je laisse donc le boulot à la validation.

Encore merci pour tes relectures.

Cependant, j'aimerais te soumettre une version différente de l'illustration de la notion de relation d'équivalence.

Imaginons que les lettres $a,b,c,\dots$ représentent les éléments d'un ensemble $E$. Si jamais il y en a plus que $26$, on peut toujours utiliser les lettres $x_i$ avec $i$ parcourant un ensemble convenable (de même cardinal).

Le jeu est le suivant : on veut connaître les mots que l'on peut composer. Les règles de composition sont les suivantes :

  • (réflexivité) : on peut toujours écrire $xx$ ;
  • (symétrie) : si on a un mot $ab$ alors on peut le réécrire $ba$ ;
  • (transitivité) : si on a $ab$ et $bc$ alors on a $ac$ (ce qui revient à simplifier l'écriture $xx$).

Cette illustration en termes de mots me semble plus simple et plus en cohérence avec l'algèbre moderne, où on peut souvent faire une interprétation en termes de mots et de gestes. C'est le genre de mécanisme qu'on met aussi en place quand on veut parler de somme amalgamée par exemple …

Holosmos

J'aime assez bien cette analogie : c'est parlant, et assez simple à visualiser.

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Auteur du sujet

Effectivement, cette notion n'est pas utilisée dans le reste du cours me semble-t-il à première vue (ça fait déjà un petit moment que j'ai écrit tout ça…) Ça vaudrait alors sûrement le coup d'en effet retirer ce passage si c'est tout de même pour être approximatif.

Édité par Bermudes

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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Yop, voici une première lecture (commentaires dans l'ordre de ma lecture).

En mathématique, les relations d'équivalence représentent un outil très important dès que l'on travaille sur des ensembles.

En fait c'est un peu différent. La notion d'équivalence est une notion de logique (pas nécessairement ensembliste).

Holosmos

Ce n'est pas une notion de logique, mais c'est une notion qui est définit par des prédicats logiques (réflexif, transitif et symmétrique). Dire que c'est une notion de logique (pour moi) voudrait dire que c'est une notion étudiée dans un cours de logique par exemple alors que ce n'est pas le cas.

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Auteur du sujet

Salut salut ! 'tcheu que c'est difficile de rédiger quand on bosse ou quand on a cours ! :o

Je passe simplement annoncer que le cours est passé en validation à l'instant. Je signalerai quand il sera pris en charge par un validateur. Merci à vous pour les retours (surtout Holosmos ;) ) !

Le hasard n’est que le nom donné à notre ignorance et n’existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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