Bonjour à tous,
J'essaye de trouver la nature des points stationnaire de cette fonctions sur un domaine borné, fermé. J'ai bien sûr essayé plusieurs méthodes mais sans succès…
$f(x,y) = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\) sur \(D = \left\{ {(x,y) \in {R^2}:{x^2} + {y^2} = 5} \right\}$ [fonction gentille, indéfiniment continument différentiable, …]
1. Méthodes des coordonnées polaires: Changement de variable classique.
$f(R,\theta ) = {R^2}{\cos ^2}\theta + 4{R^2}{\sin ^2}\theta - 4{R^2}\cos \theta \sin \theta $ , avec $0 \le \theta \le 2\pi \) et \(R = \sqrt 5 $
$\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}(\sqrt 5 ;\theta ) = 20{\sin ^2}\theta - 20{\cos ^2}\theta $
$\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}(\sqrt 5 ;\theta ) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\theta = {\cos ^2}\theta \Leftrightarrow \theta \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{ - \pi }}{4}} \right\}$
Ce qui me semble faux car ça voudra dire $(x;y) = (\frac{{\sqrt {10} }}{2};\frac{{\sqrt {10} }}{2})$ pour un des points (+ les 3 autres) et cela ne correspond pas au graphe de $f$
2. Méthode des multiplicateurs de Lagrange
Soit la fonction de Lagrange, $L(x;y;\lambda ) = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - \lambda ({x^2} + {y^2} - 5)$
Cependant, je n'arrive pas à résoudre le système $\nabla L = \overrightarrow 0 $ , j'ai essayé de pleins de manières: diviser par deux la deuxième composante du gradient (Eq. 2), la soustraire à la première, … j'ai aussi pensé à diviser la première par la deuxième (avec (\lambda != 0 ) ) mais ça ne donne rien…
D'avance merci.
Une idée pour les coordonnées polaires? Je refais de suite le calcul avec le Lagrangien.
