Extremums locaux

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'essaye de trouver la nature des points stationnaire de cette fonctions sur un domaine borné, fermé. J'ai bien sûr essayé plusieurs méthodes mais sans succès…

$f(x,y) = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\) sur \(D = \left\{ {(x,y) \in {R^2}:{x^2} + {y^2} = 5} \right\}$ [fonction gentille, indéfiniment continument différentiable, …]

1. Méthodes des coordonnées polaires: Changement de variable classique.

$f(R,\theta ) = {R^2}{\cos ^2}\theta + 4{R^2}{\sin ^2}\theta - 4{R^2}\cos \theta \sin \theta $ , avec $0 \le \theta \le 2\pi \) et \(R = \sqrt 5 $

$\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}(\sqrt 5 ;\theta ) = 20{\sin ^2}\theta - 20{\cos ^2}\theta $

$\frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}(\sqrt 5 ;\theta ) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\theta = {\cos ^2}\theta \Leftrightarrow \theta \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{ - \pi }}{4}} \right\}$

Ce qui me semble faux car ça voudra dire $(x;y) = (\frac{{\sqrt {10} }}{2};\frac{{\sqrt {10} }}{2})$ pour un des points (+ les 3 autres) et cela ne correspond pas au graphe de $f$

2. Méthode des multiplicateurs de Lagrange

Soit la fonction de Lagrange, $L(x;y;\lambda ) = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - \lambda ({x^2} + {y^2} - 5)$

$$\nabla L = {\left( {1 - 4y - 2\lambda x;8y - 4x - 2\lambda y; - ({x^2} + {y^2} - 5)} \right)^T}$$

Cependant, je n'arrive pas à résoudre le système $\nabla L = \overrightarrow 0 $ , j'ai essayé de pleins de manières: diviser par deux la deuxième composante du gradient (Eq. 2), la soustraire à la première, … j'ai aussi pensé à diviser la première par la deuxième (avec (\lambda != 0 ) ) mais ça ne donne rien…

D'avance merci.

Édité par ZDS_M

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Salut !

Je crois que tes dérivées partielles pour ton lagrangien ne sont pas correctes. Si on prend la première dérivée partielle par rapport à $x$ tu devrai avoir :

$$2x - 4y -2{\lambda}x $$

Je ne vois pas comment tu peux ne pas avoir de termes en x et avoir ce $1$ alors que tu n'as rien de la forme $ax$ dans le lagrangien.

Je n'ai pas vérifié les autres dérivées par contre !

Édité par Demandred

"Il est vraiment regrettable que tous les gens qui savent parfaitement comment diriger un pays soient trop occupés à conduire des taxis et à couper des cheveux"

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Auteur du sujet

Ah oui, c'est sûr que si je sais plus dériver $x^2$ il y a un soucis… :p Une idée pour les coordonnées polaires? Je refais de suite le calcul avec le Lagrangien.

Édité par ZDS_M

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Ah oui, c'est sûr que je sais plus dériver (x^2) il y a un soucis…

hahaha ça nous arrive à tous de faire ce genre de bêtises dans des lagrangiens^^ Le pire c'est qu'on s'en rend pas compte et qu'on passe des heures à essayer de comprendre le problème alors que la faute est bête comme la lune. :D

Une idée pour les coordonnées polaires?

Non, je touche plus trop à ça maintenant et j'ai toujours détester ça alors j'avoue que j'ai même pas regardé. Je laisse ça à quelqu'un de plus compétent que moi. :p

"Il est vraiment regrettable que tous les gens qui savent parfaitement comment diriger un pays soient trop occupés à conduire des taxis et à couper des cheveux"

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Staff

Qu'est-ce que tu appelles point stationnaire ? A priori faudrait déjà travailler un peu pour montrer que c'est une application du cercle dans lui même, ça ne saute pas aux yeux.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Qu'est-ce que tu appelles point stationnaire ?

Un point où le gradient s'annule. Certains disent point critique aussi.

A priori faudrait déjà travailler un peu pour montrer que c'est une application du cercle dans lui même, ça ne saute pas aux yeux.

Holosmos

Jamais fais ça… Qu'est-ce que tu entends par là?

Édité par ZDS_M

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Staff

Ah ok. Je connaissais pas cet utilisation, pour moi un point stationnaire c'était un point fixe.

Pourquoi tu ne calcules pas directement les zéros du gradiant ? A priori tu auras des polynômes de degrés au plus 2

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Ah ok. Je connaissais pas cet utilisation, pour moi un point stationnaire c'était un point fixe.

Pourquoi tu ne calcules pas directement les zéros du gradiant ? A priori tu auras des polynômes de degrés au plus 2

Holosmos

Le gradient de la fonction de Lagrange on est d'accord? Je vais faire ça, c'est simplement que parfois ces systèmes sont assez pénibles à résoudre et je me demandais si passer en coordonnées polaires n'aurait pas été plus facile. [J'ai cependant remarqué ma grosse erreur dans le post 1: j'ai dis que ${R^2}{\cos ^2}\theta + 4{R^2}{\sin ^2}\theta = 5{R^2}$ .. (faux) ].

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Auteur du sujet

Tu me dis que c'est le lieu d'annulation du gradiant. C'est plus simple que ça du coup, non ?

Holosmos

Oui oui, mais c'est le gradient de la fonction de Lagrange qui s'annule car on cherche sur le cercle simplement! Mais c'est bon, j'ai trouvé 4 points! :)

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