Rigueur du calcul d'une intégrale

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Auteur du sujet

Bonjour à tous !

En plein dans mes révision, je me suis heurté à un raisonnement dont je ne n'arrive pas à me convaincre de sa véracité, parce qu'il à l'air un peu -trop ?- simple.

On introduit la fonction :

$$\varphi:x\mapsto\int_0^1\!\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t$$
On a, à ce moment là de l'énoncé montré que :
$$\varphi(x)=\frac{1}{2}+x\int_0^1\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t$$
On doit déterminer la pente de la demi-tangente au point d'abscisse 0 de $\displaystyle\mathscr{C}_{\varphi}$. Pour cela, j'ai voulu calculer :
$$\lim_{x\to0^+}\left(\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\right)$$
Ce qui après calcul se ramène à calculer :
$$\lim_{x\to0^+}\left(\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t\right)$$
Et ici intervient mon "raisonnement". On voit que ce qui est à l'intérieur de l'intégrale tend vers $\dfrac{1}{4}$. On peut donc conjecturer que cette intégrale va tendre vers $\displaystyle\int_0^1\!\frac{1}{4}\,\mathrm{d}t$ également (là n'est pas encore ce qui m'embête, c'est juste une conjecture après tout).

On cherche donc à utiliser le Théorème Des Limites Finies Par Encadrement pour calculer cette limite. Tout d'abord, on a :

$$\underbrace{\int_0^1\!\frac{t^x}{4}\,\mathrm{d}t}_{\xrightarrow[x\to0^+]{}\frac{1}{4}}\leqslant\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t$$
Vient alors le deuxième encadrement. On a :
$$\int_0^1\!\frac{t^x}{\left(1+t^x\right)^2}\,\mathrm{d}t\leqslant\int_0^1\!\frac{1}{\left(1+t^x\right)^2}$$
Or on a par développement limité :
$$\frac{1}{\left(1+t^x\right)^2}=\frac{1}{4}+\underset{x\to1}{o}(1)$$
Ainsi, en notant
$$\Phi:x\mapsto\int_0^x\!\varphi(t)\,\mathrm{d}t$$
On a par primitivation du DL :
$$\Phi(x)=\frac{x}{4}+\underset{x\to1}{o}(x-1)$$
Ainsi, on a $\displaystyle\Phi(1)=\frac{1}{4}+\underbrace{\underset{x\to1}{o}(x-1)}_{\xrightarrow[x\to0^+]{}0}$

Et on peut alors conclure. Cette dernière primitivation du DL est-elle vraiment rigoureuse ?

Merci d'avance, et désolé d'avoir fait un post aussi long pour une seule question.

Édité par BunshinKage

Without geometry, life is pointless.

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Déjà il y a un problème avec ta conclusion. Là $\Phi(1)$ c'est $1/4 + C$ et a priori rien ne dit que $C$ est nul (puisque le petit o se fait en $x$ au voisinage de $0$, et pas $1$).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Oups, au temps pour moi ! J'édite le message pour correspondre à un voisinage en 1, mais ça ne devrait pas, à vue d'oeil, changer grand chose en soi.

Without geometry, life is pointless.

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Staff

Mais alors là je trouve pas ça très clair qu'au voisinage de $x=1$,

$$ \frac{1}{(1+t^x)^2} = 1/4 + o(1) $$

tu peux développer ton argument ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Bon sinon ton intuition est bonne. Avec des outils plus performant, on utilise juste le théorème de convergence dominée. Comme je connais pas ton niveau, je sais pas comment te l'adapter.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Bon sinon ton intuition est bonne. Avec des outils plus performant, on utilise juste le théorème de convergence dominée. Comme je connais pas ton niveau, je sais pas comment te l'adapter.

Holosmos

Ca me dit potentiellement quelque chose, mais pas sûr :') Je passe en Maths spé ^^

Without geometry, life is pointless.

+0 -0
Staff

le théorème de convergence dominée

Grosso-modo, il t'autorise à intervertir intégrale et limite (sous certaines hypothèses évidemment, car l'égalité qui suit n'est pas toujours vraie) :

$$\lim\limits_{x \to 0} \int \! f(x,t) \, \mathrm{d}t = \int \! \lim\limits_{x \to 0} f(x,t) \, \mathrm{d}t$$

La règle de Leibniz te permet d'écrire de façon analogue (sous d'autres hypothèses) :

$$\frac{\partial}{\partial x}\! \int \! f(x,t) \, \mathrm{d}t = \int \! \frac{\partial}{\partial x}\! f(x,t) \, \mathrm{d}t$$

Édité par Algue-Rythme

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