l'impact de l'écriture d'un nombre

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Auteur du sujet

Salut,

mon problème est assez simple mais en fait je faisais des maths et dans un exercice où il faut affecter un nombre au bon ensemble de définition et je me demande si l'écriture de ce nombre peut changer son ensemble de définition. En fait si on considère

$$ a \in \mathbb{N} $$
est-ce que
$$ \frac{3a}{3} $$
appartient aux entiers naturels puisque le résultat est un entier naturel ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses :)

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Excellente question, beaucoup plus profonde que ce qu'on pourrait penser au premier abord.

En fait il faut voir que quand tu dis « machin est un entier », ça signifie que « machin = $n$ » pour un certain entier $n$.

Quand « machin » est clairement un entier, tout va bien. Mais quand c'est plus délicat, comme ici quand on a $3a/3$, alors il faut réfléchir un peu.

Ici, c'est pas non plus très compliqué, tu sais que $3a/3 = a$. Mais alors si $a$ est entier, de par ce que j'ai écrit au dessus, ça signifie que $3a/3$ aussi.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Dans ton cas, comme 3a est un multiple de 3, alors 3 divise bien 3a, donc ton résultat est bien un entier naturel (on note 3|3a).
Pour vérifier qu'une expression littérale sous forme de fraction soit entière vérifie si le dénominateur divise le numérateur. Autrement dit, s'il n'y a pas de reste dans la division euclidienne de ton dénominateur par ton numérateur :

Division euclidienne de 3a par 3. Ici, le reste est nul.

Tu vérifie bien que 3a/3 = a et c'est donc un entier. C'est donc une expression différente de ton nombre a.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Dans ton cas oui. De manière générale, on observe que $\dfrac{3a}{3} \in \mathbb N$ à partir du moment où a est un entier naturel. Sinon, c'est faux.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Le problème c'est que ce que tu as écrit n'a a priori pas de sens puisque $\ln$ n'est pas définie sur $\mathbf{R}_-$ (du moins pas au premier abord).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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C'est plus subtile. En fait tu peux faire en sorte que $\ln(-5)$ soit réel, mais y a une contrepartie …

Je te laisse découvrir un cours d'analyse complexe pour voir ça.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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