Cordonnées cylindrique, expression de la vitesse

Ben, c'est une dérivation classique en fonction de $t$, car $\varphi $ dépend de $t $.

La dérivée de $\cos(\varphi)$, c'est $-\dot \varphi \sin(\varphi) $, donc tout va bien !

Salut,

Déjà, physiquement, si tu te déplaces en $\varphi$, tu te déplaces dans le plan $(x,y)$, donc la vitesse dans ce plan dépend forcément de la vitesse en $\varphi$.

Ensuite, quand tu dérives $\cos\varphi$ par rapport au temps, tu dérives une fonction composée de $\varphi\mapsto\cos \varphi$ et $t\mapsto\varphi(t)$. En utilisant la dérivation d'une fonction composée, tu obtiens bien $\dfrac{\mathrm d(\cos\varphi)}{\mathrm dt}=\dfrac{\mathrm d(\cos\varphi)}{\mathrm d\varphi}\times \dfrac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}$ soit $t\mapsto -\dot\varphi\sin\varphi$.

c'est parce que c'est φ(t) en fait, et ce n'est pas une valeur fixe ! du coup c'est une dérivée de la forme cos(u(x))′, c'est bien ça ?

Moui, mais il faut toujours faire attention en physique (en maths aussi, mais bon) sur quelle variable tu dérives. C'est pour ça qu'on préfère la notation $\frac d {dt}$ que simplement le prime qui n'indique rien.
Comme ça, tu peux identifier tous les termes qui dépendent de $t$ dans ton expression, et dériver en fonction.

Remarque: si $\varphi $ ne dépendait pas de $t $, peux-tu expliquer pourquoi $\frac d {dt} \cos (\varphi) $ vaudrait $0$ ?

Bon, l'idée de la composition de fonction est assez simple. Si tu as deux fonctions $f$ et $g$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la composée de $g$ par $f$ est la fonction $f\circ g\colon x\mapsto f(g(x))$. L'idée est donc simple, la composée de $g$ par $f$ est la fonction que l'on obtient en appliquant d'abord $g$ puis $f$ sur le résultat obtenu. Par exemple, si on compose $f:x\mapsto 2x-1$ et $g:x\mapsto e^x$, on a $f\circ g:x\mapsto 2e^x-1$. On peut aussi composer dans l'autre sens en appliquant d'abord $f$ puis $g$ : $g\circ f:x\mapsto e^{2x-1}$.

Ici j'ai pris des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, mais évidemment, tu peux prendre n'importe quels ensembles de définition et d'arrivé pour tes fonctions, il faut juste faire gaffe ensuite que $g(x)$ soit dans l'ensemble de définition de $f$.

Dériver une fonction composée, donc calculer la fonction $\dfrac{\mathrm d(f\circ g)}{\mathrm d x}$, se fait assez facilement en la multipliant par une fonction valant identiquement $1$ : $\dfrac{\mathrm dg}{\mathrm dg}$.

Ça donne

Maintenant, si l'on prend les deux fonctions $\varphi:t\mapsto\varphi (t)$ et $\cos:a\mapsto\cos (a)$, je pense qu'il est assez facile de voir que la fonction $\cos(\varphi)$ (qui n'est qu'un abus d'écriture pour $\cos\circ\varphi$ puisque en physique on mélange allègrement les fonctions et les scalaires issus de leur application) est la fonction $t\mapsto\cos(\varphi(t))$. La dériver par rapport au temps donne donc ce que j'avais écris dans mon précédent message.

Salut,

Concentres-toi sur le premier message d'adri1. C'est grâce à ce genre d'explication que j'avais compris à l'époque. A mon avis t'es juste trouvé par les notations différentielles. Perso, quand une variable dépend d'une autre comme $\varphi$ , je la note $\varphi(t)$ (dépend du temps ici). Puis, c'est comme la dérivée d'un cosinus composé comme tu l'as dis mais évite la notation en $'$ car elle est trop confuse en physique (et même en maths quand tu seras à plusieurs variables).

Je met volontairement pleins de parenthèses pour essayer de t'expliquer. Pour voir si correct tu peux imaginer en simplifiant les $d\varphi $ (ne l'écrit pas, c'est mathématiquement faux!!)

Et sinon, la notation en "point" signifie simplement une dérivée temporelle ce qui fait gagner de la place (et du temps).

Je te conseille de mettre les coordonnées cylindriques et sphériques dans ton formulaire avec les vecteurs positions vitesse et accélération pour éviter de toujours devoir les refaire à la main.

PS. : Bien sûr ${\dot \varphi }$ est nul si l'angle est constant (souvent le cas dans des MCU p. ex)