Cordonnées cylindrique, expression de la vitesse

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je travaille sur les coordonnées cylyndriques, et je cherche à exprimer la vitesse d'un point dans un repère orthonormé, appartenant à un référentiel d'un solide indéformable.

Je vous mets la page sur laquelle je travaille:

Image utilisateur

Je ne comprends pas pourquoi dans $V_x$ et $V_y$, il y a $ \cdot \dot{\varphi}$ ?

Par exemple, si je dérive la position en x, c'est seulement $\rho ' cos(\varphi) + \rho cos(\varphi )'$ non ?

merci pour votre aide

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

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Salut,

Déjà, physiquement, si tu te déplaces en $\varphi$, tu te déplaces dans le plan $(x,y)$, donc la vitesse dans ce plan dépend forcément de la vitesse en $\varphi$.

Ensuite, quand tu dérives $\cos\varphi$ par rapport au temps, tu dérives une fonction composée de $\varphi\mapsto\cos \varphi$ et $t\mapsto\varphi(t)$. En utilisant la dérivation d'une fonction composée, tu obtiens bien $\dfrac{\mathrm d(\cos\varphi)}{\mathrm dt}=\dfrac{\mathrm d(\cos\varphi)}{\mathrm d\varphi}\times \dfrac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}$ soit $t\mapsto -\dot\varphi\sin\varphi$.

Édité par adri1

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Auteur du sujet

Ah ok,

c'est parce que c'est $\varphi (t)$ en fait, et ce n'est pas une valeur fixe ! du coup c'est une dérivée de la forme $cos(u(x))'$, c'est bien ça ?

Merci pour l'éclaircissement ;)

EDIT: adri1, c'est pas $dt$ au lieu de $d\varphi$ ?

EDIT2: Ah non j'ai rien dit, ça prouve que je n'avais pas compris..

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

Oui. Mais ce serait valable même si $\varphi$ était constante dans le temps.

EDIT : non, c'est bien $\mathrm d\varphi$

Édité par adri1

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Auteur du sujet

Ensuite, quand tu dérives $\cos\varphi$ par rapport au temps, tu dérives une fonction composée de $\varphi\mapsto\cos \varphi$ et $t\mapsto\varphi(t)$.

adri1

Je crois que c'est ce passage là que je n'ai pas très bien compris. Sans abusé de ta gentillese, est-ce que tu pourrais explicité ce que tu as écris ? merci…

Vive la science

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c'est parce que c'est φ(t) en fait, et ce n'est pas une valeur fixe ! du coup c'est une dérivée de la forme cos(u(x))′, c'est bien ça ?

Moui, mais il faut toujours faire attention en physique (en maths aussi, mais bon) sur quelle variable tu dérives. C'est pour ça qu'on préfère la notation $\frac d {dt}$ que simplement le prime qui n'indique rien.
Comme ça, tu peux identifier tous les termes qui dépendent de $t$ dans ton expression, et dériver en fonction.

Remarque: si $\varphi $ ne dépendait pas de $t $, peux-tu expliquer pourquoi $\frac d {dt} \cos (\varphi) $ vaudrait $0$ ?

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Staff

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Bon, l'idée de la composition de fonction est assez simple. Si tu as deux fonctions $f$ et $g$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la composée de $g$ par $f$ est la fonction $f\circ g\colon x\mapsto f(g(x))$. L'idée est donc simple, la composée de $g$ par $f$ est la fonction que l'on obtient en appliquant d'abord $g$ puis $f$ sur le résultat obtenu. Par exemple, si on compose $f:x\mapsto 2x-1$ et $g:x\mapsto e^x$, on a $f\circ g:x\mapsto 2e^x-1$. On peut aussi composer dans l'autre sens en appliquant d'abord $f$ puis $g$ : $g\circ f:x\mapsto e^{2x-1}$.

Ici j'ai pris des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, mais évidemment, tu peux prendre n'importe quels ensembles de définition et d'arrivé pour tes fonctions, il faut juste faire gaffe ensuite que $g(x)$ soit dans l'ensemble de définition de $f$.

Dériver une fonction composée, donc calculer la fonction $\dfrac{\mathrm d(f\circ g)}{\mathrm d x}$, se fait assez facilement en la multipliant par une fonction valant identiquement $1$ : $\dfrac{\mathrm dg}{\mathrm dg}$.

Ça donne

$$\dfrac{\mathrm d(f\circ g)}{\mathrm d x}=\dfrac{\mathrm d(f\circ g)}{\mathrm d g}\times\dfrac{\mathrm dg}{\mathrm dx},$$
qui n'est autre que
$$\left(\dfrac{\mathrm df}{\mathrm d x}\circ g\right)\times\dfrac{\mathrm dg}{\mathrm dx}.$$

Maintenant, si l'on prend les deux fonctions $\varphi:t\mapsto\varphi (t)$ et $\cos:a\mapsto\cos (a)$, je pense qu'il est assez facile de voir que la fonction $\cos(\varphi)$ (qui n'est qu'un abus d'écriture pour $\cos\circ\varphi$ puisque en physique on mélange allègrement les fonctions et les scalaires issus de leur application) est la fonction $t\mapsto\cos(\varphi(t))$. La dériver par rapport au temps donne donc ce que j'avais écris dans mon précédent message.

Édité par adri1

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Auteur du sujet

@melepe: si $\varphi$ ne dépendait pas de t, il est invariant selon le temps et donc sa dérivée par rapport au temps est nulle.

@adri1: merci pour cette explication, c'est clair maintenant (j'ai été lire d'autres articles et j'ai fait des essais de mon côté), cependant, il y a un seul point qui reste obscure dans ta notation,

$$\dfrac{\mathrm d(f\circ g)}{\mathrm d g} \to \left(\dfrac{\mathrm df}{\mathrm d x}\circ g\right)$$

Source:adri1

ça correspond à $\dfrac{f(g(t))}{{\mathrm d g}} = \dfrac{f'(g)}{{\mathrm d t}}$, si la variation de g dépend de la variation de t ?

Édité par Unknown

Vive la science

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Staff

ça correspond à $\dfrac{f(g(t))}{{\mathrm d g}} = \dfrac{f'(g)}{{\mathrm d t}}$, si la variation de g dépend de la variation de t ?

Unknown

Tes notations ne voulant rien dire, non.

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Tu as vu les différentielles de fonctions jusqu'ici? Mon prof de math utilisait cette notation en 1S mais c'est vrai que ça n'a pas trop d'intérêt si on ne sait pas ce qu'est une différentielle. Je pense que tu utilises cette notation à tort, un peu comme moi du coup (étant initié aux dérivés par ce prof de math en question).

Éternel curieux

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Salut,

Concentres-toi sur le premier message d'adri1. C'est grâce à ce genre d'explication que j'avais compris à l'époque. A mon avis t'es juste trouvé par les notations différentielles. Perso, quand une variable dépend d'une autre comme $\varphi$ , je la note $\varphi(t)$ (dépend du temps ici). Puis, c'est comme la dérivée d'un cosinus composé comme tu l'as dis mais évite la notation en $'$ car elle est trop confuse en physique (et même en maths quand tu seras à plusieurs variables).

$$\frac{d}{{dt}}(\cos (\varphi (t)) = \frac{d}{{d\varphi }}(\cos (\varphi (t))\frac{{d}}{{dt}}(\varphi (t))$$

Je met volontairement pleins de parenthèses pour essayer de t'expliquer. Pour voir si correct tu peux imaginer en simplifiant les $d\varphi $ (ne l'écrit pas, c'est mathématiquement faux!!)

Et sinon, la notation en "point" signifie simplement une dérivée temporelle ce qui fait gagner de la place (et du temps).

Je te conseille de mettre les coordonnées cylindriques et sphériques dans ton formulaire avec les vecteurs positions vitesse et accélération pour éviter de toujours devoir les refaire à la main.

PS. : Bien sûr ${\dot \varphi }$ est nul si l'angle est constant (souvent le cas dans des MCU p. ex)

Édité par ZDS_M

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Staff

Tu as vu les différentielles de fonctions jusqu'ici? Mon prof de math utilisait cette notation en 1S mais c'est vrai que ça n'a pas trop d'intérêt si on ne sait pas ce qu'est une différentielle. Je pense que tu utilises cette notation à tort, un peu comme moi du coup (étant initié aux dérivés par ce prof de math en question).

Ozmox

À mon avis vous avez plutôt parlé dérivation plutôt que différentiation. C'est pas tout à fait la même chose, la seconde notion est plus générale et généralement pas abordée en maths avant le supérieur.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Pour voir si correct tu peux imaginer en simplifiant les $d\varphi$ (ne l'écrit pas, c'est mathématiquement faux!!)

Il est parfaitement correct de simplifier les différentielles totales, $\dfrac{\mathrm df}{\mathrm df}$ n'est autre que $x\mapsto 1$.

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