Simplification et développement de sommations

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Bonjour,

J'essaie présentement de perfectionner mes statistiques et j'éprouve un peu de difficulté avec les sommations. Un exercice demande de simplifier l'expression suivante : $kx_1^5-kx_2^5+kx_3^5-kx_4^5+kx_5^5-...\pm kx_n^5$. Pour l'instant, j'ai trouvé (édité)

$$ k \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}x^5_i $$

Je me demandais simplement si c'était la meilleure façon de simplifier cette expression. Mes cours sur les suites et séries remontent à longtemps et il me semble qu'il y avait une suite avec le -1.

Aussi, j'ai de la difficulté à développer les doubles sommations. Par exemple,

$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(x_{ij}-ky_{ij})^2$$

J'obtiens $(x_{11}-ky_{11})^2+(x_{12}-ky_{12})^2+(x_{21}-ky_{21})^2+(x_{22}-ky_{22})^2+(x_{31}-ky_{31})^2+(x_{32}-ky_{32})^2$ mais quand j'essaie de faire partir les parenthèses, ça devient super long donc je ne suis pas sûr que je m'y prends de la bonne façon. Je me demandais surtout s'il existe une astuce avec l'exposant. Est-ce que je peux par exemple séparer la sommation du x et celle du y, du genre

$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(x_{ij})^2 - \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(ky_{ij})^2 $$

Je n'ai pas réussi à trouver les propriétés des sommations avec les exposants. Ne vous inquiétez pas, je sais très bien que ce n'est pas logique, mais je cherche surtout une expression qui serait moins longue à écrire (et je suis certain qu'elle existe mais que c'est moi qui ne la trouve pas :P ). Merci beaucoup. :)

Édité par Le Gigot

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Auteur du sujet

Tu as totalement raison, je ne savais pas où j'avais la tête. Il me semblait bien qu'un truc clochait. :P

C'est surtout pour le deuxième exercice que je bloque en fait. J'aimerais simplement savoir si je suis sur la bonne voie…

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Tu peux en effet séparer un indice sommatoire dans lequel tu as une somme en une somme de plusieurs sommes :

$$\sum_{i \in I}(a_i + b_i) = \sum_{i \in I}a_i + \sum_{i \in I}b_i.$$

Cependant, dans ton cas, tes termes sont dans une parenthèse mise au carré. Tu peux donc séparer ta somme, mais u dois au préalable étendre ton exponentiation (priorité des opérations) :

$$\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}(f(i, j) + g(i, j))^2 = \sum_{i \in I}\sum_{j \in J}[f(i, j)^2 + g(i, j)^2 + 2f(i, j)g(i, j)],$$

ce qui est égal à :

$$\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}f(i, j)^2 + \sum_{i \in I}\sum_{j \in J}g(i, j)^2 + 2\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}f(i, j)g(i, j).$$

Ce peut être un début pour faire des simplifications. Cependant, garde en tête que plus ton exposant est grand, plus son expansion sera grande également, et donc plus tu auras de $\Sigma$ dans ton expression, ce qui n'est pas toujours non plus l'objectif recherché.

Le hasard n'est que le nom donné à notre ignorance et n'existerait pas pour un être ominscient., Émile Borel

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