Raisonnement par l'absurde qui est absurde?

Bonjour,

Je viens de tomber sur ce problème de logique fallacieux, qui semble être à même de démontrer tout et n'importe quoi.

Voici 3 propositions:

• La reine d'Angleterre et le roi de Belgique sont la même personne et la troisième phrase est vraie.
• La troisième phrase n'est pas vraie.
• Au moins une des deux premières phrases est vraie.

On procède à présent à un raisonnement par l'absurde. Supposons la troisième phrase fausse. Alors, les deux premières phrases sont fausses, ce qui mène à une contradiction puisque la fausseté de la deuxième phrase entraîne que la troisième phrase est vraie. On conclut donc que la troisième phrase est vraie.

Puisque la deuxième phrase est alors fausse, on conclut que la première phrase est vraie et, par conséquent, que la reine d'Angleterre et le roi de Belgique sont la même personne.

Quelle est l'erreur logique? D'après moi cela vient du fait que si on note C la 3ème proposition, alors on a (nonC => C). Ce qui me semble louche, mais je ne saurai dire pourquoi exactement.

On se rend alors compte qu'il n'y a pas de solution pour l'équation

Il n'existe pas de proposition vide ? Un équivalent pour les proposition du zéro de l'addition ou de l'ensemble vide. Un truc qui ne fasse rien quand on l'ajoute, qui soit son opposé, voir qui soit unique… Bref, une proposition neutre.

Je pose la question par pur curiosité.

Ça n'existe pas si on a le tiers exclu. Une proposition sera alors soit vraie soit fausse. Quelque chose qui serait à la fois vrai ou faux ou rien du tout ne serait pas une proposition.

Par contre, il me semble que certaines branches de la logique (logique intuitionniste me semble-t-il ?) travaillent sans tiers exclu et interdisent par conséquent le raisonnement par l'absurde.

Ça n'existe pas si on a le tiers exclu. Une proposition sera alors soit vraie soit fausse. Quelque chose qui serait à la fois vrai ou faux ou rien du tout ne serait pas une proposition.

Quid du premier théorème d'incomplétude de Gödel ?

Ca dépend ce que tu appelles raisonnement par l'absurde. On a tendance en logique à dire que $\lnot A \equiv A \Rightarrow \bot$. Ce qui fait que si tu veux prouver $\lnot A$ alors ça revient à prouver $\bot$ (sous les bonnes hypothèses évidemment).

Par contre si tu sais que $\lnot A \Rightarrow \bot$ tu ne peux pas en déduire $A$ en logique constructive oui.

Je ne suis pas spécialiste, mais il me semble juste qu'il affirme qu'il existe des propriétés vraies qu'on ne peut démontrer. Il n'empêche qu'elles sont vraies. Et idem pour les fausses qu'on ne peut réfuter.

Pas spécialiste non plus, mais en regardant le théorème, il semble que c'est qu'on peut prendre une théorie plus l'axiome ou une théorie plus son contraire et que les deux restent cohérentes (avec les mains). A priori la définition de l'axiome du tiers exclu fixe une valeur de vérité aux propositions, sinon ça ne marcherait pas et on tournerait en rond. Par contre, il y a des propositions dont on ne peut pas démontrer les valeurs de vérité à partir d'une théorie donnée, comme dit au dessus.

le théorème d'incomplétude de Gödel est assez spécial :

il dit que toute théorie basée sur des axiomes et suffisamment complexe pour contenir l'arithmétique de peano possède une infinité d'assertions indécidables, c'est à dire qu'on ne peut démontrer que leur affirmation ou leur négation est correcte. L'une d'entre elle est "la théorie est cohérente". qui si elle appartenait à la théorie rendrait la théorie incorrecte.

C'est complètement faux ça comme le souligne @unidan. Le premier théorème d'incomplètude de Gödel dit qu'il existe des énoncés mathématiques dont il n'est pas possible de prouver l'énoncé lui-même ou bien son contraire. Autrement dit, cet énoncé est ni vrai ni faux. Cependant, tu peux choisir (et donc ajouter comme axiome) l'énoncé ou sa négation et les mathématiques resteront cohérentes. C'est par exemple le cas de l'hypothèse du continu.

Le tiers exclu lui, est une règle de ta logique, ou bien un schéma d'axiomes (si tu es au premier ordre). Mais tu ne peux pas déduire du tiers exclu que tu as ou bien $P$ ou bien $\lnot P$ et si exactement ça qui rend le tiers-exclu problématique et non constructif. Tu peux aller regarder ça par exemple : https://www.youtube.com/watch?v=4rVQdHk0abI

@artragis : le théorème dit même plus que ça. Tu auras beau ajouter des axiomes à ta théorie, il sera toujours possible de construire de tels énoncés. Ce résultat a ébranlé les mathématiciens au début du XXième siècle et notamment Russel et Whitehead.

@artragis : le théorème dit même plus que ça. Tu auras beau ajouter des axiomes à ta théorie, il sera toujours possible de construire de tels énoncés. Ce résultat a ébranlé les mathématiciens au début du XXième siècle et notamment Russel et Whitehead.

c'est ce que je sousentendais avec "une infinité".

J'ai quand même envie de dire qu'il faut différencier la notion de vérité (très platonicienne) avec celle de preuve.

Le théorème de Gödel dit notamment qu'on ne peut pas prouver n'importe quel énoncé.

En revanche, il ne dit pas qu'il sont vrais ou faux ou aucun des deux. Ça c'est une question de véracité assez différente.

Pas vraiment, cette fois je te renvoie au théorème de complétude de Gödel. La notion de véracité est une notion sémantique et la théorème de complétude de Gödel dit que si c'est vrai sémantiquement (vrai), alors c'est vrai syntaxiquement (preuve).

Oui mais je ne parle pas ici de la notion de vérité telle qu'on la formalise en logique.

Dans le monde « populaire » la vérité c'est quelque chose qui peut être sans avoir de preuve.