Précision en maths

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Salut,

Dans mon livre personnel de mathématiques, lors du chapitre sur les logarithmes, il est noté à un moment :

"$log (64 620) = 4.810 37$ à $\dfrac{1}{200 000}$ près" (soit $\dfrac{1}{2.10^5}$ donc). Je comprend que l'on retrouve cinq chiffres dans la partie décimale de notre exposant, d'où le fois $10^5$, et que cela dépend de la précision de la table de logarithme avec laquelle on travail, ou bien le nombre de chiffre significatifs que l'on garde du résultat affiché sur notre calculatrice. De la même manière, devrais-je écrire $log (11) = 1.041 392$ à $\dfrac{1}{2.10^6}$ près?

Je comprends le principe, mais pourquoi cet inverse? Y a t-il une preuve/explication mathématique?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

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Bof, pas vraiment. Je pense que c'est juste une façon de faire lire « 1 deux-cents-millième » de manière plus directe. Mais je vois pas trop la différence avec $1/2 \times 10^{-5}$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Ok, rien d'exceptionnel donc. Après, mon bouquin nous demande de pousser plus loin dans la "théorie des erreurs", il y a un article sur le site, non ?

EDIT : Il y a une précision dans mon livre, qui dit que pour $(p,q) \in \mathbb R^2$, on dit que $p = q$ à $\epsilon$ près (avec $\epsilon$ un réel positif) équivaut à $q - \epsilon < p < q + \epsilon$. De plus, la table de logarithme utilisée dans ce chapitre-ci (pour les exemples, car il n'y en a pas en annexe, aussi étrange que cela puisse paraître…) permet des calculs à $\dfrac{1}{2 000}$ près.

Autant pour moi, donc. ^^

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Auteur du sujet

Du coup, j'ai une autre question quant aux logarithmes décimaux :

Si je cherche le logarithme d'un réel M compris entre 0 et 1 (exclus), alors ce dernier est négatif. Dans mon bouquin, il est dit que la partie entière correspond au rang du premier chiffre significatif à droite de la virgule, ce qui est compréhensible puisque si $10^{-p} < M < 10^{-p+1}$ alors $ -p < log (M) < - (p-1)$, mais alors p est négatif, on note donc une barre au dessus. D'où provient cette notation?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Auteur du sujet

Pardon, erreur d’orthographe, il s'agit du rang et pas du "rand". ^^

Pour la barre, si notre réel M est compris entre 0 et 1 (exclus). Logiquement, log(M) est négatif alors on note la partie entière avec une barre au dessus de celle-ci. J'arrive pas à trouver la notation avec MathJax.

En gros, tu a par exemple : log (0.043) = 2 (avec une barre au dessus), mantisse. L'idée c'est que l'on prend l'opposé du rang du premier chiffre significatif à droite de la virgule donc 2 est normalement négatif…

Éternel curieux

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Auteur du sujet

J'ai retrouvé le symbole :

Voici!

Ma question était juste pourquoi l'utilisation de ce symbole. D'ailleurs, je possède exactement cette table de logarithme (celle de Bouvart et Ratinet).

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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A mon avis, l'intérêt est moindre aujourd'hui, mais était important quand on utilisait ces fameuses tables de logs :

Avec cette notation : les nombres _2,69897 ; _1,69897 ; 0,69897 ; 1,69897 suivent une progression arithmétique.

Alors qu'avec la notation classique, on écrit : les nombres -1,30103 ; -0,30103 ; 0,69897 ; 1,69897 suivent une progression arithmétique.

Le découpage entre mantisse et exposant est plus visuel avec la notation en question.

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Auteur du sujet

En effet. C'est quand même vachement intéressant de voir comment certains calculs peuvent être effectués à la main comme ça! :-)

Le problème, c'est que lorsque j'essaye, je tombe souvent sur des étapes difficilement calculables de tête. Par exemple, si on a le log d'un nombre, on peut déterminer ce nombre avec la simple propriété des puissances :

$log (M) = q + \theta \Leftrightarrow M = 10^q \times 10^{\theta}$, avec q la partie entière et $\theta$ la partie décimale. Mais comment calculer $10^{\theta}$ sans calculatrice (par exemple $10^{0.067}$)?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Cette technique était utilisée à une époque ou tout le monde (on se comprend…) avait sa table de log sur soi.

La table de log donnait le log de tous les nombres entre 1 et 10, avec une précision variable, et donc pas de difficulté pour calculer 10^^0.067 avec une précision suffisante.

L'étape suivante, après la table de log, c'est la règle à calcul : parfaite pour calculer une multiplication, une division ou une racine carrée de tous les réels entre 1 et 10 (1 à 100 pour les racines carrées) . Ne restait plus qu'à multiplier ou diviser par une puissance de 10 pour avoir le résultat voulu.

Cf ici par exemple. Sur l'illustration de la Faber-Castell 369, on voit bien que sur cette règle, la distance entre 1 et 2 et la même qu'entre 2 et 4 ou entre 3 et 6.

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Auteur du sujet

Ah oui, du coup c'est un peu prise de tête mais relativement efficace. C'est pour ça que les log décimaux sont abordés d'une manière très rapide au bahut vu qu'on a tous des calculatrices!

Dernière question après j'arrête de vous embêter :

Avez-vous une preuve de $log_a (b) = \dfrac{ln (b)}{ln (a)}$?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Si tu veux une preuve, il faut que tu nous donnes les hypothèses. C'est quoi ta définition de logarithme en base $e$ et du logarithme en base $a$ ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Voici mes deux définitions :

$\forall (a, M) \in \quad ]0, + \infty[ \quad \times \quad ]0, + \infty[, \quad log_a (M) = m \Leftrightarrow M = a^m, m \in \mathbb R$.

$\forall M \in \; ]0, + \infty[, \quad ln(M) = m \Leftrightarrow M = e^m$. Bien sûr, on peut obtenir ln(M) en remplaçant $a$ par $e$ dans la définition précédente ($log_e (M)$).

Je n'exclus absolument pas les erreurs dans mes définitions. ^^

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

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Bon bah, à partir de là tu as $a^m = e^{m\ln a}$ et donc

$$M = a^m = a^{\ln_A(M)} = e^{\ln_a(M) \ln a} = e^m $$

et donc par injectivité de $e$,

$$\ln_a(M)\ln(a) = \ln(M),$$

ce qui conclut.

Édité par Holosmos

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Staff

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Bon t'as pas besoin de retenir une démonstration. Ce qu'il faut comprendre, c'est que la progression est logarithmique : $\ln_a(xy) = \ln_a(x)+\ln_a(y)$, et la seule formule qui ait un sens pour le changement de base c'est $\ln_a(x) = \ln(x)/\ln(a)$.

En effet, parce que si tu supposes $\ln_a(x) = F(x,a)$ alors tu dois avoir $F(xy,a) = F(x,a)+F(y,a)$, et la façon la plus simple et qui ait du sens, c'est précisément $F(x,a) =\ln(x)/\ln(a)$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Excuse moi, qu'est-ce que tu appelles $F$? La fonction qui à un réel positif non-nul associe son logarithme en base $a$, étant un réel positif non-nul aussi?

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Non, juste une fonction à deux variables. L'idée c'était de te faire voir que $F(x,a) = \ln(x)/ln(a)$ est la façon la plus simple de répondre au problème d'exprimer $\ln_a(x)$ en fonction de $a$ et $x$.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Je ré-ouvre le sujet. Je me rends compte qu'il y a des calculs que je n'arrive pas à faire à la main. Par exemple, comment passer de la ligne $-0.930 95$ à $-1+0.069 05$?

Éternel curieux

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