Calcul d'incertitude

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Auteur du sujet

Bonjour,
J'essaye de comprendre les calculs d'incertitudes, qui pourtant ne semble pas bien compliqué. Seulement, étant en enseignement inversé et les cours vidéos n'étant pas très clairs, je ne tombe jamais sur le bon résultat.

Voici l'énoncé (qui ne veut pas dire grand chose…) :

On considère un morceau de roche de pavé droit, dont les dimensions sont a = 1,2 cm, b = 3,5 cm et c = 1,1 cm. L’incertitude sur ces valeurs mesurées est de 1 mm. A l’aide d’une balance, on détermine la masse du morceau de roche comme étant égale à $m=(855,25±0,02)g$. Quelle est l’incertitude de sa masse volumique $rho$ ?

Je calcule le volume :
V = a * b * c
V = 4,62 cm

Ensuite, son incertitude :

$$ \Delta V = |\frac{\delta V}{\delta a}|\Delta a + |\frac{\delta V}{\delta b}|\Delta b + |\frac{\delta V}{\delta c}|\Delta c\\ \Delta V = (b * c) * \Delta a + (a * c) * \Delta b + (a * b) * \Delta c\\ \Delta V = 0,937 cm $$

Nous avons donc $V = 4,62 ± 0,94$ cm

On peut donc ensuite passer au calcul de $\Delta\rho$ :

$$ \Delta\rho = |\frac{\delta\rho}{\delta m}|\Delta m + |\frac{\delta\rho}{\delta V}|\Delta V\\ \Delta\rho = \frac{\Delta m}{V} + \frac{m\Delta V}{V^{2}}\\ \Delta\rho = 37,64 $$
On a donc $\Delta\rho = 37,64$ g.cm-3. Or les réponses proposées dans le QCM sont :

  • 5 kg.cm-3
  • 0,003 g.cm-3
  • 0,8 g.cm-3
  • 0,04 g.cm-3

Je pense que mon erreur est sur le calcul des dérivées partielles, mais je n'ai aucune idée de comment on calcule ça… Donc j'ai fait comme si il n'y avait pas de dérivée partielle (par exemple $\delta V$ a été remplacé par $a * b * c$…)

Merci de votre aide :)

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Ah l'enseignement inversé !

Une dérivée partielle tu l'obtiens de la façon suivante.

Imaginons que tu aies une fonction à deux variables $f(x,y)$. Si tu veux calculer la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$, cela signifie que tu vas fixer la valeur $y=b$ et dériver la fonction $x\mapsto f(x,b)$ en $x=a$ comme tu sais déjà le faire.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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ce qui est possible, c'est que l'exercice ne parte pas de la même définition de l'incertitude que toi. Parfois on dit qu'on se casse pas le trognon et c'est effectivement $\Delta Y = \sum_i \frac{\partial Y}{\partial X_i}\Delta X_i $ mais cette définition suppose qu'on est dans le cas d'emmerdement maximal et que tout le monde contribue au maximum aux erreurs. D'autres proposent une autre définition, $\Delta Y = \sqrt{ \sum_i (\frac{\partial Y}{\partial X_i}\Delta X_i)^2 }$ car ce cas correspond à une somme des erreurs moyennes (je te laisse faire une comparaison avec les variances et écarts-type de sommes de variables aléatoires). Aucune idée de si c'est le cas ici, mais ça peut jouer parfois.

Édité par Goeland-croquant

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Auteur du sujet

D'accord, mais dans ce cas, comment l'utiliser ? J'ai $\delta\rho$ qui varie en fonction de $m$ et de $V$. Si je dis $\frac{\delta\rho}{\delta m}$ ça signifie que je dérive en fonction de $m$ et donc que $V$ est fixé ? Ce qui veut dire que j'ai :

$$ \frac{\delta\rho}{\delta m} = \frac{1}{V}\\ \frac{\delta\rho}{\delta V} = -\frac{m}{V^{2}} $$

J'ai l'impression que je n'ai pas tout a fait compris le truc.. :-°

Sinon, le QCM est un QCM portant sur le cours vidéo donc je suis sensé utiliser ce que je viens d'apprendre dans le cours. Et je n'ai jamais vu la formule que tu proposes donc ça m'étonnerais que ce soit celle-ci qu'il faut utiliser. ;)

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Vous avez des formules bien compliquées, et j'ai l'impression que dans cet exercice on attend un raisonnement plus terre-à-terre. On a un les 3 dimensions de notre bloc. Il mesure 1.23.51.1 avec une incertitude de 1mm sur les 3 dimensions. Le volume est donc entre 1.13.41.0 et 1.33.61.2, c'est à dire entre 3.74 cm3 et 5.616 cm3.

Petit détail au passage : tu as écrit que le volume était de 4.62 cm… Je pense que ton prof attend avant tout le symbole cm CUBE… encore plus important que le calcul lui-même.

La masse est entre 855.23g et 855.27g.

La masse volumique est donc entre 855.23/5.616 g/cm3 et 855.23/3.74 g/cm3.

Soit 190 g/cm3, avec une incertitude de 40 g/cm3.

Effectivement, la réponse ne figure pas parmi les réponses proposées. A mon avis, l'incertitude sur les dimensions du bloc étaient de 0.1mm , et non 0.1cm, et tu as mal recopié. Ou alors, il y a une erreur dans l'énoncé, ce qui arrive aussi.

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À mon avis, c’est la masse qui est fausse et pas le reste. 900 g/cm³ c’est totalement irréaliste pour de la roche. Après une petite recherche, d’après Wikipédia il apparaît que le noyau interne de la Terre a une masse volumique de 13 g/cm³ (et c’est du fer). On a quasiment une différence un facteur 80, soit deux ordres de grandeur. Même si on parlait de métal, je n’ai rien trouvé qui ait une densité supérieure à la vingtaine.

Édit. J’avais considéré que le volume était de 1 cm³ donc mes valeurs sont un peu fausses, mais ça ne change rien à la conclusion.

Édité par TD

« LaTeX is to a book what a set of blueprints is to a building » (Paul Dulaney) | Mon planétaire

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Staff

il apparaît que le noyau interne de la Terre a une masse volumique de 13 g/cm³ (et c’est du fer).

TD

Et même du fer sous pression. Le fer à pression ambiante, c'est plutôt de l'ordre de 8 g/cm³. Une roche comme on peut en trouver à la surface de la Terre, hors minerais, ça va plutôt chercher vers 2 g/cm³ pour les sédiments pas trop denses à environ 3.5 g/cm³ max pour la péridotite. Donc 900, c'est plus qu'irréaliste, c'est complètement du délire.

EDIT : le bon chiffre doit être 9 grammes pour les 4.62 cm³. Pour le coup c'est un peu faible, mais pas déconnant.

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Effectivement, je n'ai pas du tout croisé avec des données physiques réelles, et vous avez certainement raison.

L'idée de mon message était en fait de faire un raisonnement très différent : j'ai un intervalle pour le volume, avec un minimum et un maximum, j'ai aussi un intervalle pour la masse, avec un minimum et un maximum ; ça permet de calculer un intervalle pour la masse volumique, avec un min et un max (en prenant bien soin de diviser min(masse) par max(volume) et max(masse) par min(volume))… et donc on obtient un milieu et une incertitude.

La formule avec les dérivées est correcte, tant que les incertitudes sont très faibles ; le calcul que je proposais est plus terre à terre, plus orienté physique que maths mais tout aussi correct. Et il est surtout plus facile à comprendre.

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Staff

La formule avec les dérivées est correcte, tant que les incertitudes sont très faibles ; le calcul que je proposais est plus terre à terre, plus orienté physique que maths mais tout aussi correct. Et il est surtout plus facile à comprendre.

Euh, non, du tout. La propagation d'incertitude se fait avec les dérivés partielles (pas en bricolant), et découle directement de l'interprétation physique de ce qu'est une différentielle.

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Non, sur quel point ? Tu veux dire que le calcul avec les dérivées, quand il est fait sérieusement , permet de retrouver le résultat que je donne et qui est obtenu par un calcul plutôt simple ? C'est ça ?

Et dans ce cas, je suis d'accord avec ton objection.

Mais si ton idée est différente, il faut expliquer plus.

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Staff

Je veux dire non sur les quatre points.

  • tu dis que le calcul avec les dérivées est correct tant que les incertitudes sont très faibles, c'est faux. Ce qui compte, ce n'est pas que les incertitudes soient faibles, mais la forme de la fonction sur laquelle on fait les calculs d'incertitudes.
  • tu dis que ton calcul est plus orienté physique que maths, j'imagine pour sous entendre que celui avec les dérivées partielles est orienté plus maths que physique. C'est faux également, ce calcul avec les dérivées partielles se comprend très bien avec l'interprétation physique de ce qu'est une différentielle totale. Bricoler avec les intervalles obtenus en appliquant une fonction, ça se justifie beaucoup plus difficilement, que ce soit physiquement ou mathématiquement.
  • tu dis que ton calcul est tout aussi correct, voir le point précédent.
  • et enfin, plus facile à comprendre, ça encore ça peut se discuter, mais ça laisse la place au doute. Typiquement, quand on inverse les bornes d'un intervalle, on se retrouve avec un intervalle asymétrique autour de l'inverse de la valeur centrale de départ. Pas super intuitif pour se débrouiller avec ça derrière. Autre problème, si tu te retrouves avec des $\cos$ ou des $\log$ dans ton expression, appliquer ta méthode devient mission impossible. Dire que c'est plus simple que d'utiliser la méthode correcte et (presque) universellement applicable me parait donc un peu hâtif.

Enfin j'ajouterais aussi que c'est pas forcément une excellente idée de proposer une méthode alternative (indépendamment de sa valeur intrinsèque) alors que l'OP a déjà du mal avec la méthode qu'il est censé apprendre et utiliser…

Édité par adri1

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