Gradient en coordonnées cylindriques

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'ai toujours eu un peu de mal avec les coordonnées polaires (ou cylindriques). Un exemple : le calcul du gradient en coordonnées cylindriques.

Soit $f:\Bbb R^3\to\Bbb R $ différentiable au point M de coordonnées polaires $(r, \theta, z)$, et on note $g = f(rcos\theta, rsin\theta, z)$, alors via la "chain rule" on obtient:

$$\nabla f(rcos\theta, rsin\theta, z) = \frac {\partial g}{\partial r}(r,\theta,z)e_r + \frac 1r \frac {\partial g}{\partial \theta}(r,\theta,z)e_\theta + \frac {\partial g}{\partial z}(r,\theta,z)e_z$$

Ce calcul me semble tout à fait cohérent, du moins j'en comprends la preuve pas à pas. Comment expliquer alors, lorsque je regarde la page wikipédia du gradient cette autre formule:

$$\nabla f(r, \theta, z) = \frac {\partial f}{\partial r}(r,\theta,z)e_r + \frac 1r \frac {\partial f}{\partial \theta}(r,\theta,z)e_\theta + \frac {\partial f}{\partial z}(r,\theta,z)e_z$$

Clairement les deux formules sont distinctes. A mon avis, la page wikipédia utilise des abus de notations, cependant je ne saurai expliquer lesquels et encore moins leur donner un sens. Ce que je cherche c'est vraiment de comprendre ce qui se passe intuitivement avec ce gradient en polaire car c'est vraiment flou pour moi. (si vous avez une référence ou un lien qui explique la chose en détail ce serait très bien aussi).

Édité par bless4

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Staff

Je vois pas bien la différence entre les deux formules, si ce n'est que tu as surement oublié un $e_z$ dans ton dernier terme. Qu'est-ce qui te pose problème ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Salut,

Je ne comprends pas ta question. La page Wikipédia donne exactement la même formule, à ceci près qu'il ne manque pas le $\mathrm e_z$ sur le dernier terme et que $r$ est noté $\rho$ et $\theta$ est noté $\varphi$.

Ce que je cherche c'est vraiment de comprendre ce qui se passe intuitivement avec ce gradient en polaire car c'est vraiment flou pour moi. (si vous avez une référence ou un lien qui explique la chose en détail ce serait très bien aussi).

Ben si tu as compris ce qu'était le gradient de manière générale, ici tu as juste son expression en coordonnées polaires. Il n'y a rien de spécial à comprendre.

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Staff

Je ne vois toujours pas de différence fondamentale entre les deux. Ce que tu notes $g$ dans ta formule est noté $f$ dans celle de Wikipédia.

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