Composition de fonctions - Injection Surjection

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je me mélange toujours avec la composition de fonction et de pouvoir dire laquelle est injective, surjective… en fonction de ce qu'on sait des autres. Y aurait-il un moyen memotechnique ou quelque chose pour être sur de ne pas se tromper ? J'en ai marre de douter sur cette question…

merci !

Vive la science

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Staff

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Pas vraiment malheureusement.

Tu peux retenir que dans $g\circ f$, si $f$ n'est pas injective alors la composition non plus et si $g$ n'est pas surjective alors la composition non plus. Ça et en passant à la contraposée ça te donne généralement les implications que tu cherches.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Salut,

Il faut souvent partir de la définition pour se souvenir de cela. Par exemple, si $g \circ f$ est surjective alors $g$ est surjective (pas d'infos sur $f$). Pour la preuve, c'est très simple. Tu supposes par exemple que $g \circ f$ est surjective (écrit mathématiquement ce que ça veut dire: il existe un … tel que…). Quand t'as des équivalences (par exemple, $g \circ f$ et $h \circ g$ bijectives $\Leftrightarrow $ $f$,$g$ et $h$ bijectives) c'est un peu plus compliqué car tu dois prouver dans les deux sens.

Édité par ZDS_M

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La question peut se lire dans les 2 directions : connaissant certaines propriétés sur 2 fonctions f et g, que peut-on conclure sur gof : si les 2 fonctions sont injectives, gof est injective ; et si les 2 fonctions sont surjectives, alors gof est surjective.

Maintenant, dans l'autre sens, je crois que le plus facile à retenir, c'est : si gof est surjective alors g est surjective. Ca parait assez évident à visualiser.

Ca peut donner un moyen mnémotechnique pour mémoriser l'autre propriété : si gof est injective, alors f est injective.

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