Fonction erf

Bonjour à tous,

on définit la fonction erf (fonction d'erreur) comme suivant : $erf(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt$ et je voudrais montrer que $\lim_{x\to +\infty} erf(x) = 1$. J'ai cherché sur Internet la méthode pour le faire, mais je n'ai rien trouvé… (la plupart des choses portant sur le calcul scientifique).

Est-ce que vous auriez des pistes ?

Merci beaucoup !

Ça vient du fait que

Et normalement, ça se montre gentiment avec un changement de variable radial.

Il y a aussi l'astuce de dire que

NB : il faut lire $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ dans la définition de erf

@cvanaret: merci c'est rectifié !

@ blo yhg: le problème c'est qu'on a pas encore vu ce genre d'intégrale. Ça devrait être dans l'un des prochains chapitres qu'on va faire en classe. En revanche j'ai réussi à démontrer le développement en séries entières suivant :

Est-ce que ça peut être une piste ?

Je ne sais pas si c'est une bonne piste, je dirais que non.

Si tu veux, voici ce qu'on trouve en cherchant « elementary proof gaussian integral » sur google : https://www.akalin.com/elementary-gaussian-proof Je ne sais pas si ça te convient.

Ceci t'intéressera peut-être : https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(differential_algebra) Avec ça on peut montrer que la fonction erf ne peut pas être exprimée en terme de fonctions élémentaires : produit, exponentielle, etc. !

C'est rarement une bonne piste. Mais pourquoi pas si tu arrives au bout, ce qui m'étonnerait.

Le classique c'est passer par l'intégration … après rien ne t'empêche de faire autrement, mais difficile de t'aider sur cette piste.