Equations en complexe

Bonjour,

J’ai deux équations de complexes où j’ai du mal à répondre:

J’ai multiplié par $|z-5|$, j’ai remplacé z par a + ib, j’ai calculé le module pour chaque côté mais je n’arrive pas à refactorisé pour avoir une équation d’un cercle.. même en ajoutant des nombres de sorte à retrouver une identité remarquable.

L’autre où j’ai du mal c’est $|z| = z^5$. Je vois 0 et 1 comme solutions, mais vu que c’est puissance 5 j’ai l’impression qu’il y en a 5. Quelle est la méthode de résolution ?

Je sais que $z = e^{i \theta} $ et $z^n = \alpha e^{i \theta } $

Merci!

Pour la première, pourquoi penses-tu que tu auras l’équation d’un cercle ?

Pour la seconde t’es sur une piste intéressante. Je te ferai juste remarquer que si tu écartes la solution $z=0$, en divisant les deux membres par $|z|$ tu obtiens à gauche $1$ et à droite $z^5/|z|$. Maintenant en regardant le module, $r$, tu dois avoir $r^4=1$ donc $r=1$. Donc $|z| =1$.

Euh je me suis trompé d’équation en fait.. C’est $\frac{|1 + z|}{|1 - z|} = 2$, z privé de 1.

Je sais que c’est un cercle puisque dans le QCM toutes les propositions contiennent un cercle (je sais, c’est ps très rigoureux, mais bon..)

Pour celle que j’ai donné, j’ai trouvé que c’était une droite horizontale(QCM à 4 choix: droite verticale, cercle (2 variantes) ou droite horizontale. (ce sont les -3 et les -5 qui m’ont guidés, j’ai essayé d’imaginé la situation dans ma tête et je serai la refaire en calcul je pense).

Je réfléchis pour l’autre.

Je vois pas trop la différence entre l’équation que tu proposes et la première de ton premier post. À part des constantes qui changent, ça devrait pas être des objets géométriques différents.

Une chose qui pourrait t’aider c’est voir qu’une équation du type

signifie géométriquement que si $z$ est à distance $x$ de $b$ alors il est à distance $cx$ de $a$.

J’ai tracé un cercle sur ma feuille, j’ai place $a$ et $b$, et est ce que le centre de ce cercle est le point qui est à égal distance de a et b, avec z vérifiant ce que tu m’as indiqué ?

J’ai trouvé 6 solutions, 0, et après les 5 solutions $z = e^{i \theta}$ avec $\beta = 2 \pi$ et $\theta$ de la forme que j’ai donné dans mon 1er post.

J’ai tracé un cercle sur ma feuille, j’ai place a et b, et est ce que le centre de ce cercle est le point qui est à égal distance de a et b, avec z vérifiant ce que tu m’as indiqué ?

À ton avis ?

Rien ne t’interdit de tenter des choses et vérifier par toi même avec un logiciel comme geogebra.

Je viens d’essayer géogebra, y-a t-il un moyen pour rentrer mon équation et voir l’ensemble des solutions s’afficher ?

Sinon si tu as des rudiments en python tu peux utiliser la fonction solve de sympy.

Haha en voilà un qui prépare son examen d’analyse de demain ! Grillé

<hs> Grillé ? Je ne me cache pas haha. sinon je ne viendrais pas poster ici. Et heureusement que je n’ai pas commencé à le préparer aujourd’hui !! Aucune honte à poser des questions en tout cas </hs>

J’essaiera sympy, je vais me mettre un peu à python en début février.

Holosmos, tu aurais une autre indication ?

c’était affectif Je trouve ça cool de retrouver des camarades ici

Edit: Et si ça peut t’aider j’ai vu qqn expliquer cet exercice aujourd’hui (Je n’ai pas vraiment écouté…) Mais il me semble qu’en remplaçant z par x + iy tu trouveras assez facilement des x et des y au carré, ce qui fait tout de suite penser à l’équation du cercle.

Une autre indication alors.

Si t’as une équation du type $|x| = c|y|$ alors tu as une équation du type $|x|^2 = c^2|y|^2$, ce qui peut donner aussi $|x|^2 - c^2 |y|^2$. Et si tu te débrouilles pour bien développer, tu peux trouver une équation sympathique.