Mathématique : sens d'une représentation

En théorie des groupes

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bon, à mon avis j’ai pas tout à fait le niveau pour comprendre les réponses, mais je tente quand même  : c’est quoi une représentation ?

Je m’explique : en chimie, on utilise la théorie des groupes comme outil pour déterminer l’activité ou nom de certaines molécules dans certaines spectroscopies. C’est aussi utilisé en physique/chimie quantique pour simplifier certaines expressions. Résultats des courses, on se limite aux groupes ponctuels "réalistes" (donc n’impliquant des rotations d’ordre 6 ou 8 au maximum, par exemple), et ça nous va très bien. Sauf que si j’ai bien compris, la théorie des groupes, en math, c’est un truc énorme, et nous, pauvres chimistes, on en fait que gratter la surface. Preuve en est, on arrive très bien à reconstruire des tables de caractères en utilisant n’importe comment le lemme de Schur, et on a même pas honte :p

Sauf que j’aimerai bien comprendre ce que je fais. En particulier, j’aimerai comprendre le concept de représentation et de caractère. Sauf que l’ami Wikipédia me fait bien comprendre que j’ai pas le niveau pour ça, puisqu’il me dit :

Le caractère χp de la représentation (V, ρ) d’un groupe fini G est l’application, de G dans le corps commutatif K de la représentation, qui à s associe la trace de ρs :

$$\forall s\in G\quad\chi_\rho(s)=Tr(\rho_s).$$

La définition de représentation n’est pas beaucoup plus claire pour moi, parce qu’elle emploi exactement les mêmes termes :

Soit G un groupe, K un corps commutatif et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation du groupe G une action linéaire de G sur V, autrement dit un morphisme de groupes de G dans le groupe linéaire GL(V). Plus explicitement, c’est une application

$$\rho~:~G\to\mathrm{GL}(V)\quad\text{telle que}\quad\rho(g_1)\circ\rho(g_2)=\rho(g_1 g_2).$$

Plus précisément, je vois à peu près ce que c’est un groupe (un ensemble qui vérifie les axiomes de groupe), intuitivement, j’arrive à peu près à voir ce qu’est un espace vectoriel et un corps commutatif et à la limite une action linéaire (mais très vite fait), mais je suis complètement paumé par la suite de la définition ("morphisme […] dans le groupe linéaire […]").

Pourquoi ça me chipote ? Parce que justement, on utilise le lemme de Schur comme des bourrins (via les règles d’orthogonalité), et que vu de loin, on dirait que les représentations sont des vecteurs (orthogonaux), et qu’on en prend simplement le produit scalaire. Et donc, j’aimerai comprendre pourquoi on a le droit de faire ça.

Est ce que quelqu’un aurait moyen de m’expliquer ça un tout petit peu plus simplement, ou est ce que j’ai plus qu’à me faire un bon cours d’algèbre ?

D’avance merci :)

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Ok je vais tenter de clarifier les définitions.

Déjà, ${\rm GL}(V)$ c’est le groupe des automorphismes de $V$. C’est-à-dire l’ensemble des applications linéaires $V\to V$ qui sont bijectives. Le choix d’une base (disons de cardinal $n$) pour $V$ permet de mettre en correspondance ces automorphismes avec le groupe des matrices inversibles de taille $n\times n$.

Ce qui est utile de remarquer pour comprendre la notion de représentation, c’est qu’un groupe on peut toujours le voir comme un certain ensemble d’automorphismes de groupes. En effet, si j’ai un groupe $G$, alors l’application $g\mapsto gx$ pour $x\in G$ fixé est un automorphisme : l’inverse est donné par $g^{-1}$ puisque $g^{-1}gx=x$.

Maintenant, choisir une représentation, c’est choisir une manière d’écrire $G$ en termes de matrices inversibles dans ${\rm GL}(V)$ (notons ici que $V$ est libre). C’est-à-dire transformer la multiplication par $g$ en une matrice $\rho(g)$ de sorte que $\rho(g_1g_2)=\rho(g_1)\rho(g_2)$.

Il y a une représentation triviale : c’est celle qui envoie $g$ sur l’identité. On est donc vite amené à considérer le noyau d’une représentation $G\to {\rm GL}(V)$. Si le noyau est trivial, cela signifie que la représentation est injective, on dit qu’elle est fidèle.

Une telle représentation fidèle permet de comprendre un groupe (comme des rotations) comme des transformations linéaires (par exemple le groupe orthogonal). En particulier, on peut utiliser tous les outils d’algèbre linéaire, comme la trace, le déterminant, etc.

Dis moi si y a des termes que tu ne comprends pas. Je ne suis pas sûr du vocabulaire à ta disposition.

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C’est plutôt clair, merci :)

À la limite, je veux bien que tu développe un tout petit peut ce passage :

Il y a une représentation triviale : c’est celle qui envoie $g$ sur l’identité. On est donc vite amené à considérer le noyau d’une représentation $G\rightarrow GL(V)$. Si le noyau est trivial, cela signifie que la représentation est injective, on dit qu’elle est fidèle.

Parce que la notion de noyau ne me dit rien du tout :-)

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Le noyau d’un morphisme (application linéaire ou morphisme de groupes), c’est l’image réciproque de l’élément neutre.

L’élément neutre de ${\rm GL}(V)$ c’est l’identité (puisque le produit par l’identité ne fait pas varier) et son image réciproque dans $G$ c’est l’ensemble de ses éléments qui s’envoient sur l’identité.

Un petit raisonnement montre qu’un morphisme est injectif si, et seulement si, le noyau est réduit à l’élément neutre (à $e\in G$ ici).

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