Physique des variétés parallélisables

Coucou,

Je viens avec une question un peu inhabituelle, j’espère que les plus physiciens que moi pourront m’aider sur ce coup-ci.

Il est bien connu que la sphère $S^3$ est une variété parallélisable (en fait n’importe quelle 3-variété fermée l’est, mais $S^3$ est le premier exemple non-trivial qu’on peut avoir à l’esprit). C’est-à-dire que son fibré tangent est trivial. En d’autres termes, $T S^3 = S^3\times \mathbf R^3$, et donc le choix d’un champ de vecteurs sur $S^3$ ne connait aucune contrainte.

Ma question est la suivante : j’imagine que cela doit avoir un impact en physique, mais lequel ?

N’hésitez pas à me demander plus de détails. Mais vu que la question est pas super élémentaire, j’imagine que ceux qui la liront n’auront pas besoin d’énormément de détails.

Si je tente d’extrapoler ce que je comprends de ton message¹, tu nous dit que l’analogue 4D du vecteur tangent à la sphère $S^3$ n’est pas contraint. Ça me fait penser à l’invariance de jauge². En substance, on peut modifier d’une certaine façon le potentiel électromagnétique sans changer le champs magnétique (d’où l’invariance). Après, c’est de l’électromagnétisme, donc pas du tout mon domaine (ni ce que je préfère), mais j’espère que ce message pourra aider quelqu’un d’autre à faire le lien.

De ce que je comprends de la théorie de jauge (à savoir assez peu), c’est effectivement assez proche de la topologie, mais il me semble pas que ça discute de ma question.

Je vais développer un peu pour que tu ne puisse plus dire "Si je tente d’extrapoler ce que je comprends de ton message" :P.

Le problème de la parallélisabilité des variétés, on peut déjà en discuter pour les surfaces. Le cas de $S^2$ (sphère usuelle) est intéressant parce que justement, cette variété n’est pas paralélisable. Par exemple, il n’existe pas sur $S^2$ de champ de vecteurs jamais nul. Mieux il y a une invariance sur les indices des zéros donnée par la caractéristique d’Euler-Poincaré : c’est le théorème de Poincaré-Hopf.

Donc dans le cas de $S^2$ on a certainement pas $ TS^2=S^2\times \mathbf R^2$, sinon on pourrait prendre un champ de vecteurs jamais nul. Ça a des conséquences dynamiques puisqu’on a par exemple l’existence de points fixes quelque soit la dynamique engendrée par un champ de vecteurs.

Visiblement, il y a une utilité à considérer des variétés parallalélisables en relativité générale.

De ce que j’ai compris, cela permet notamment de définir l’énergie, qui est un concept global et non seulement local, nécessitant donc plus qu’une description locale de la variété espace-temps. Avoir une variété parallelisable ça permet justement d’avoir une description globale (et plutôt simple) du tangent de la variété.