Expression à simplifier

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Bonjour à tous,

J’ai une petite expression que j’aimerais simplifier, réduire, améliorer, transformer en quelque chose de plus joli autant possible, si possible.

$$ A = k! \underset{a \in K^N_m}{\sum} \underset{i=1}{\overset{N}{\prod}} \frac{\mu(F^i)^{1 + a_i}}{(1 + a_i)!} $$

avec $\forall a \in K^N_m, ~ \sum a_i = m$ ou encore $\sum a_i + 1 = k$ (et donc $m = k-N$). On a aussi $\sum_i \mu(F^i) = 1$.

$\Gamma^N_m$ est l’ensemble des $m$-multicombinaisons, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs de $\mathbb{N}^N$ tels quel $\forall a \in K^N_m, ~ ||a||_1 = \sum a_i = m$. Je rappelle que le cardinal d’un tel ensemble est donné par $K^N_m = {{N+m-1}\choose{m}}$.

J’ai juste essayé de réécrire cela en fonction de la fonction $\Gamma$:

$$ A = \underset{a \in K^N_m}{\sum} \frac{\Gamma(\sum_i (a_i+1) + 1)}{\prod_i \Gamma(a_i + 2)} \underset{i=1}{\overset{N}{\prod}} \mu(F^i)^{1 + a_i} $$

ce qui ne m’avance pas beaucoup plus.

Merci!

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