Convolution et support compact

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Bonsoir les agrumes,

Je suis confronté à un problème numérique que j’ai un peu de mal à aborder.

J’ai une fonction $k:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ connue, au besoin on peut rajouter des conditions fortes sur $k$ ($\mathcal{C}^n$, $\mathcal{L}^p$, $\mathcal{S}$, …) et un intervalle $I$. Je cherche à construire une fonction $\sigma$ (idem pour les conditions) telle que:

$$ \underset{\mathbb{R}\I}{\operatorname{max}} \lvert k\star\sigma\rvert \ll \int_{I}\lvert k\star\sigma\rvert $$

La piste que j’ai pour le moment c’est de construire une suite $\left\{\sigma^{(n)}\right\}_n$ de sorte que:

$$ \frac{\underset{\mathbb{R}\I}{\operatorname{max}} \lvert k\star\sigma^{(n+1)}\rvert}{\int_{I}\lvert k\star\sigma^{(n+1)}\rvert} < \frac{\underset{\mathbb{R}\I}{\operatorname{max}} \lvert k\star\sigma^{(n)}\rvert}{\int_{I}\lvert k\star\sigma^{(n)}\rvert} $$

Mais je ne sais pas trop quelle direction prendre pour construire cette suite. J’ai essayé en utilisant des fonctions d’Hermite-Gauss mais ce n’est pas encore très fructueux (je n’ai fait que quelques tests numérique pour le moment, je ne suis pas encore certain de mon code et je n’ai pas de preuve), il y a peut-être une meilleur approche.

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