Égalité de deux nombres complexes

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Bonjour,

Je suis en pleine révision sur les oscillateurs harmoniques amortis et forcés. Dans mon exercice, j’ai deux pendules $P_1$ et $P_2$ non couplés. On impose un mouvement oscillatoire de pulsation $\Omega$ à l’extrémité de $P_2$ dont l’expression est $\theta_{O2} = \theta_2 cos(\Omega t)$. De fait, $P_1$, pendule amorti, est soumis à un nouveau moment dû à cette force excitatrice extérieur, dont la projection suivant l’axe de rotation est :

$$M_{force\ ext} = C_0 \theta_{O2}$$

J’ai trouvé cette équation différentielle pour le mouvement de $P_1$ :

$$ \ddot{\theta} + 2\alpha\dot{\theta} + \omega_{0}^{2}\theta = \frac{C_0}{I} \theta_2 cos(\Omega t)$$

En passant aux solutions complexes :

$$-\theta_1 \Omega^2 e^{i(\Omega t + \phi)} + i2\alpha\theta_1\Omega e^{i(\Omega t + \phi)} + \omega_0^2\theta_1 e^{i(\Omega t + \phi)} = \frac{C_0}{I}\theta_2e^{i(\Omega t)}$$

En simplifiant :

$$\theta_1 (\omega_0^2 - \Omega^2 + i2\alpha\Omega) = \frac{C_0}{I}\theta_2e^{-i\phi}$$

On me demande ensuite de déterminer $\theta_1$ et $\phi$. C’est donc par l’égalité des modules et des arguments que deux nombres complexes sont égaux. Seulement, dans le corrigé, je passe de l’expression ci-dessus aux suivantes :

$$\theta_1 = \frac{C_0\theta_2}{I\sqrt{(w_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\alpha^2\Omega^2}}$$
$$\phi = -arctan(\frac{2\alpha\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2})$$

Comment passe t-on de la forme $(\omega_0^2 - \Omega^2 + i2\alpha\Omega)$ à $\sqrt{(w_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\alpha^2\Omega^2}$ ? J’ai bien vu que c’était le module, mais là je vois pas comment faire. Et comment détermine t-on $\phi$ ?

Merci à vous et bonne journée ! :)

Édité par Wizix

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Quel est le module du membre de gauche de ton équation ? Quel est le module du membre de droite ? Qu’est-ce que tu peux obtenir de l’équation "module gauche = module droite" ?

Édité par Eusèbe

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Auteur du sujet

Arf oui effectivement ça, c’était tout bête..

Pour l’arguments, j’imagine que c’est juste une formule ? $arctan(\frac{partie\ complexe}{partie\ réelle})$ ?

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