Inégalité à deux variables réelles

Bonjour,

J’ai un problème, je cherche depuis plusieurs jours désormais mais je ne parviens pas à trouver la méthode, le voici.

Déterminer la forme générale de tous les couples d’entiers naturels $(x;y)$ tels que $(10x+7)*(10y+11) - 70$ soit différent de $(10z+3)*(10w+9)$ et de $(10z+7)*(10w+11)$ quelque soit le couple d’entiers naturels $(z;w)$.

Par exemple le couple $(x;y) = (0;0)$ convient car dans la première expression ça donne 7, qu’on ne peut jamais obtenir avec les deux autres expressions, quelque soit $(z;w)$ entiers naturels choisis. Par contre le couple $(x;y) = (0;1)$ ne convient pas car dans la première expression on obtient 77 qu’on peut également obtenir avec $(10z+7)*(10w+11)$ en prenant le couple $(z;w) = (0;0)$.

J’ai pu trouver quelques couples convenant mais je n’ai aucune idée de la méthode à appliquer pour avoir une forme générale pour x et y. J’espère que vous pourrez m’aider, merci à vous.

Bon je me suis concentré seulement sur la deuxième équation.

$\alpha = 10xy+11x+7y$

Si $\exists a, \frac{\alpha-a}{10a+7} \in \mathbb{N*}$ alors on a une solution.

Le concept, on prend un couple $(x,y)$ on calcule $\alpha$ si on arrive à trouver un $a$ telque $\alpha-a$ soit divisible par $10a+7$¹ alors on a un couple $(a,b)\in\mathbb{N}^2$ qui rend $x,y$ non solution.

Ça réduit un peu le champs de recherche, mais tu serras obligé d’utiliser un algo qui parcourt les $a$. (T . T)

Edit: Oups, la valeur de alpha était fausse.

Merci pour ta réponse.

Apparemment si je ne me trompe pas l’expression renvoie uniquement des nombres premiers finissant par 7 pour les couples d’entiers naturels (x;y) solutions. J’imagine donc qu’il n’y a pas de méthode plus simple sinon cela se saurait ?

Je n’ai pas bien compris ton message.

Dans l’idée, moi je ne pense pas pouvoir faire mieux (on peut très certainement optimiser le parcourt de ’a’, mais c’est tout).

Sinon, je suis sûr qu’un spécialiste des équations diophantiennes pourra te dire si on peut faire mieux mais je suis loin de ce niveau là …

Bah en fait je me suis aperçu que $(10x+7)*(10y+11)-70$ ne donnait que des nombres premiers finissant par 7 lorsqu’on a les bons couples d’entiers naturels $(x;y)$ car les deux autres expressions renvoient uniquement tous les nombres finissant par 7 qui ne sont pas premiers.

Donc si on a une forme générale pour avoir les entiers naturels (x;y) de telle sorte que $(10x+7)*(10y+11)-70$ retourne un résultat qui ne peut être obtenu avec les deux autres expressions, on arrive en fait à sortir tous les nombres premiers finissant par 7. C’est pour ça que je pense qu’il n’y a pas plus simple que de parcourir tous les ’a’ et qu’une forme générale pour avoir les couples d’entiers naturels (x;y) donnant un résultat ne pouvant jamais être obtenu avec les deux autres expressions ne doit très certainement pas exister.

A priori, ta conclusion est juste.

La 1ère exression permet de génerer tous les entiers positifs finissant par 7. ( c’est probablement l’étape la plus difficile à démontrer, est-ce qu’on couvre bien tous les nombres qui finissnet par 7)

La 2ème et la 3ème permettent de générer tous les entiers positifs finissant par 7, et qui ne sont pas premiers. Ca c’est facile à démontrer.

Donc, par différence…

Il y a la première démonstration qui est difficile mais surtout le fait de pouvoir trier parmi les premiers et les non premiers avec la 1ère expression. Il n’y a pas de moyen simple de sortir les couples (x;y) qui conviennent et donc de sortir uniquement des nombres premiers finissant par 7.

La question est maintenant de savoir s’il n’y a vraiment aucun moyen de le faire (si ça a déjà été démontré ?) ou bien si ce n’est juste pas connu.

En effet j’ai vu sur wikipédia qu’il a été démontré qu’un polynôme ne prenant que des valeurs entières ne pouvait pas retourner uniquement des nombres premiers. Mais ici j’ai 2 variables et c’est déjà possible avec un polynôme à 26 variables (mais inutile en pratique).

Bien entendu il n’est pas question de résoudre ce problème ici, c’est plus de la curiosité (le résoudre doit frôler l’impossible).

La 1ère exression permet de génerer tous les entiers positifs finissant par 7. ( c’est probablement l’étape la plus difficile à démontrer, est-ce qu’on couvre bien tous les nombres qui finissnet par 7)

17 ?

On obtient 17 en prenant le couple (x;y) = (-1;-4) ou (x;y) = (8;-1). En réalité les entiers relatifs conviennent et pas seulement les entiers naturels. D’ailleurs je viens de voir que le titre du topic est faux, c’est "variables entières."

Effectivement, tu avais écrit entier naturel partout. Mais dans ce cas le résultat énoncé par elegance est évident en prenant $y=-1$ (et en ne regardant que les résultats positifs ?) ; l’intérêt de la première expression est alors vraiment limité.

Sinon, je ne comprends pas trop ce que tu cherches dans ton avant-dernier message. Qu’est-ce que tu appelles forme générale ?

Une forme qui donnerait les couples (x;y) qui conviennent pour ne tomber que sur des nombres premiers finissant par 7. Par exemple (x;y) = (-1;-4) convient.

Comme Lucas, je me demande où tu en es de tes réflexions ; je n’ai rien compris à ton message d’hier soir.

Il y a une accumulation d’imprécisions : nombres entiers naturels (donc positifs), et soudain on accepte les négatifs, nombres entiers ou nombres réels … Prend la peine de relire chacun des mots de tes messages, ça aidera les lecteurs qui veulent t’aiguiller, et surtout, ça t’aidera à bien fixer tes idées.

Mais c’est quoi une « forme » du coup ? En soi, je peux dire que $u_n$ est défini par « le couple $(x,-1)$ tel que $(10x+7)-70$ est le $n$-ème nombre premier qui se termine par 7 ». Mathématiquement j’obtiens une « forme » (?) qui est bien définie (en supposant qu’il y a bien une infinité de premier qui se termine par 7, ce qui est vrai) et qui décrit un ensemble de couples $(x,y)$ qui représente ce que tu veux.

Je pense que tu t’attends à une quelque chose qu’on peut former à partir de fonction usuelles. Comme tu l’as vu, on ne peut pas faire ça avec des polynômes. Mais pour avoir des résultats plus généraux il faudrait se fixer vraiment un objectif précis (spoiler : y a peu de résultats non tautologiques dans le domaine).

Qu’est-ce que tu n’as pas compris pour mon message d’hier soir ?

Sinon il n’y a pas de réflexion, je me suis rendu compte que le problème était impossible à résoudre.

Pour répondre à Lucas : je m’attends à quelque chose qui donne des entiers précis pour (x;y).

S’il y avait une formule disant : (10x+7)*(10y+11)-70 est premier si et seulement si … , alors on aurait une formule magique pour bâtir tous les nombres premiers finissant par 7.

Et en changeant peu de choses dans l’exercice, on saurait bâtir aussi tous les nombres premiers finissant par 1, 3 ou 9 … Et donc, on aurait une formule automatique pour bâtir tous les nombres premiers. Et on serait célèbre dans le monde entier.

Idem, si on trouvait une formule disant ; si (x,y) vérifient telle relation, alors xxxx est premier, avec une infinité de couples (x,y) concernés, on aurait une technique simple pour générer une infinité de nombres premiers. Et là aussi, on serait célèbre dans le monde entier.