Résolution équation circuit RC

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

aujourd’hui, je m’ennuyais en cours, alors je me suis résolu à me mettre aux équa diff linéaires (on ne va pas discuter le bien ou le mal de ne pas toujours suivre en cours :D ). Je précise auparavant que je n’y connais vraiment rien (enfin, je sais dériver à peu près tout ce qui est au programme et intégrer les fonctions les plus faciles).

J’ai hésité à poster en maths parce que je poste pour deux raisons :

  • pourriez-vous regarder si tout ce que je fais a du sens mathématiquement et si c’est comme ça que l’on s’y prend normalement ?

  • j’ai posé une question plus "électronique" à la fin.

J’ai pris un circuit tout basique, celui-là :

Circuit RC

J’utilise $I$ le courant, $R$ la résistance (de R o_O ) et $C$ la capacité du condensateur C.

La partie maths (attention pavé):

J’ai donc posé :

  • $I = V_{out}/R$ et

  • $I = C(V_{in}-V_{out})'$.

Je cherche $V_{out}$ en fonction de $V_{in}$ , et je veux, en l’occurrence, une entrée sinusoïdale. Je nomme |donc $y$ la fonction que je cherche, et je peux réécrire : |

$$\frac{1}{R} y = C \sin' - Cy' \Leftrightarrow \\ y' + \frac{1}{RC}y = \cos$$

Renommons $\frac{1}{RC}$ en $T$ :

$$y' + Ty = \cos$$

Me retrouvant un peu bloqué, un ami m’a soufflé de chercher avec les fonctions sin ou cos. J’ai finalement |trouvé en posant $y = A\cos + B\sin$.

En mettant dans l’équation :

$$-A\sin + B\cos + T(A\cos + B\sin) = \cos$$

On doit donc avoir :

  • $TB - A = 0$ et
  • $TA + B = 1$

On additionne : $T^2B + B = 1$

et donc $B = \frac{1}{1 + T^2}$ et $A = TB = \frac{T}{1+T^2}$

Pour avoir toutes les solutions, on peut utiliser $y' + Ty = 0$ puis additionner à $A\cos + B\sin$

Pour résoudre, j’ai fait :

$$y' + Ty = 0 \\ \frac{y'}{y} = -T \\ \int \frac{y'}{y} dt = \int -T dt \\ \ln|y| = -Tt + C\\ |y| = e^{-Tt + C} = Ke^{-Tt} \\ K = |y(0)|$$

Au passage, je ne sais pas comment me débarrasser de la valeur absolue, mais on va admettre pour la suite |que c’est comme si j’avais su.

Enfin, on a la solution : $y = \frac{T}{1+T^2}\cos + \frac{1}{1 + T^2}\sin + y_0e^{-Tt}$

qu’on peut réécrire en posant :

$$A = L\cos\alpha \\ B = L\sin\alpha$$

où

$$L = \sqrt{A^2 + B^2} = \frac{1}{\sqrt{1+T^2}}\\ \alpha = \arctan\frac{B}{A} = \arctan\frac{1}{T}$$

…et on obtient :

$$V_{out}(t) = \frac{1}{\sqrt{1+T^2}}\cos(t-\arctan\frac{1}{T}) + V_{out}(0) e^{-tT}$$

Tadaaa ! (Pfiou)

On a donc, pour $T$ tout petit (pour ceux qui n’ont pas lu le pavé, $T = \frac{1}{RC}$), un déphasage maximal ($\alpha$ maximal, càd 90°), un filtrage de l’oscillation très petit ($L$ proche de $1$) et un tant de charge très long (car $e^{-Tt}$ très étalé), et pour $T$ très grand, un déphasage proche de $0$, un filtrage quasi infini (car $L$ proche de $0$) et un tant de charge très court.

La question que je me posais, c’est si cette notion est liée à la notion d’impédance, et si oui, comment pourrais-je tomber dessus en poussant un peu le développement.

Je ne suis sûrement pas très clair : en fait, je cherche à appréhender les choses intuitivement en essayant de les retrouver à partir de rien, ou plus ou moins (oui, j’ai une drôle de notion d’intuition).

Je vous remercie d’avance !

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La partie maths est douteuse (pour rester poli).

Déjà, il faut déterminer dans quel cas d’étude tu te places. En régime continu ($V_{in}$ fixe) ou en régime sinusoïdal forcé ? Car tu parles d’impédance, qui est typiquement quelque chose qui ne fait pleinement sens qu’en RSF.

Pour la partie maths, je note $U$ la tension aux bornes du condensateur. Par la physique d’un condensateur, (ou par définition de ton cours), on sait que $i=C\dot{U}$. Aux bornes de la résistance, avec la d’ohm, on a $U_R = Ri = RC\dot{U}$ (c’est le même $i$ vu que les composants sont en série). La loi des mailles donne $V_in = U + RC\dot{U} $, équation différentielle linéaire d’ordre 1. La solution de cette équation est une fonction de la forme $U(t)=Ae^{\frac{t}{RC}}+B$, avec $A$ et $B$ des constantes à déterminer avec les conditions initiales.

A $t=0$, si on suppose le condensateur déchargé, vu que sa tension est continue, ca donne $U(0)=0$ d’où $A=-B$. En prenant la limite de la relation entre les tensions lorsque $t$ tends vers l’infini, on a $A=E$ d’où la solution pour $U(t)$.

Si tu veux la tension $V_{out} = U_R = RC\dot{U}$. il suffit donc de dériver $U$

Edit : tu as une beta sur les circuits en RSF

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Bonsoir !

Déjà, il faut déterminer dans quel cas d’étude tu te places. En régime continu (Vin fixe) ou en régime sinusoïdal forcé ?

…je veux, en l’occurrence, une entrée sinusoïdale

Bon, j’avoue, c’était vraiment pas clair, en plus, je l’ai mis dans la section cachée sans réfléchir, et je l’ai même pas écrit en maths. Je voulais dire : $V_{in}=\sin(t)$.

La partie maths est douteuse (pour rester poli).

C’était à s’y attendre… (comme je l’ai dit, j’ai essayé de résoudre une équation différentielle sans avoir appris à le faire, alors voilà…) :-° En quel(s) point(s) l’est-elle ?

Pour la partie maths, je note U la tension aux bornes du condensateur. Par la physique d’un condensateur, (ou par définition de ton cours), on sait que i=CU˙. Aux bornes de la résistance, avec la d’ohm, on a UR=Ri=RCU˙ (c’est le même i vu que les composants sont en série).

Jusque là, je suis. Mais ça correspond à ce que j’ai écrit, non ?

La loi des mailles donne Vin=U+RCU˙, équation différentielle linéaire d’ordre 1. La solution de cette équation est une fonction de la forme U(t)=AetRC+B, avec A et B des constantes à déterminer avec les conditions initiales.

A t=0, si on suppose le condensateur déchargé, vu que sa tension est continue, ca donne U(0)=0 d’où A=−B. En prenant la limite de la relation entre les tensions lorsque t tends vers l’infini, on a A=E d’où la solution pour U(t).

Si tu veux la tension Vout=UR=RCU˙. il suffit donc de dériver U.

Là, je ne suis plus tout, je comprends les phrases mais pas la logique, ni trop de quoi on parle.

Pour les maths, en fait, je voulais surtout un retour sur la méthode d’un point de vue purement équations différentielles, d’où le fait que ce ne fût pas la section la plus adéquate pour, j’en conviens.

Je sais, je suis relou, et aussi dans ma manière d’apprendre, j’aime vraiment essayer de trouver les méthodes pour résoudre les problèmes tout seul avant de regarder les méthodes qu’on apprend et qui sont optimales.

Merci !

PS: j’ai réalisé que je n’avais pas du tout tenu compte de la fréquence de $V_{in}$, et que je n’avais résolu que pour $f = \frac{1}{2\pi}$ [Hz].

J’ai refait aujourd’hui et j’ai obtenu ça comme solution :

Pour $V_{in} = \sin(\omega t + \varphi)$ avec $\omega = 2\pi f$ et $\varphi$ le déphasage :

$$V_{out} = \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}\cos(\omega t + \varphi - \arctan(\omega RC)) + V_0e^{-\frac{1}{RC}t}$$

Je ne suis pas sûr du résultat, mais au moins, ça contient le résultat que j’ai déjà calculé dans le poste précédent.

PPS:

…(ou par définition de ton cours)…

Je n’ai pas de cours, ce qui explique que je fasse potentiellement n’importe quoi… :D

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En vrac

  • La démarche que j’ai postée correspond à une étude en régime constant. Pour du RSF, c’est une autre histoire.
  • La solution que tu proposes est presque juste à un gros détail pret: elle n’est pas homogène. $V_{out}$ est une tension, $\cos$ est sans dimension et l’’expression avec l’exponentielle est homogène à une tension. Tu as juste oublié de multiplier par $V_{in}$.
  • En RSF, le régime transitoire ne nous intéresse pas, tu peux donc virer la partie avec l’exponentielle de la solution (même si elle est juste).
  • En RSF,on ne va jamais résoudre d’équation différentielle directement. On va utiliser une représentation complexe des tensions pour nous simplifier la vie et la notion d’impédance permet d’avoir des lois d’association entre composants très similaires à ce qu’on trouve pour les résistances en série ou en parallèle. En général, le RSF est très lié à la notion de filtre électronique, domaine dans lequel la fonctions de transfert nous intéresse plus que les expressions exactes des sorties. Mais il te faudrait un cours complet sur le régimes RSF, les filtres et la décomposition en série de Fourier pour comprendre comment tout ca s’imbrique.
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La démarche que j’ai postée correspond à une étude en régime constant. Pour du RSF, c’est une autre histoire.

D’accord !

En RSF, le régime transitoire ne nous intéresse pas, tu peux donc virer la partie avec l’exponentielle de la solution (même si elle est juste).

Un régime purement alternatif n’est donc pas transitoire, si je comprends bien les définitions ? (je l’ai fait comme ça parce que le challenge était avant tout résoudre une équation différentielle plutôt que faire de l’électronique, mais cet exercice a ouvert d’autres questions).

En RSF,on ne va jamais résoudre d’équation différentielle directement. On va utiliser une représentation complexe des tensions pour nous simplifier la vie et la notion d’impédance…

D’accord, je pense que je vais jeter un œil au cours que tu m’as proposé dans le message précédent.

La solution que tu proposes est presque juste à un gros détail près : elle n’est pas homogène. $V_{out}$ est une tension, $\cos$ est sans dimension et l’’expression avec l’exponentielle est homogène à une tension. Tu as juste oublié de multiplier par $V_{in}$.

Je ne comprends absolument rien. C’est quoi une solution homogène ? Et $V_{in}$ est une fonction, je ne comprends pas trop…

Et y aurait-il d’autres avis sur l’aspect plus formel de la résolution de l’équation, si tout ce que j’ai fait est "légal" et comment on fait pour se débarrasser de la valeur absolue dans le premier message ?

Merci !

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Entre le régime libre et régime forcé :

1
 * Le régime libre est le régime observé quand toutes les sources sont éteintes. Des composants

passifs et linéaires forment un circuit dans lequel se trouve initialement de l’énergie sous forme de tension (dans un condensateur) ou de courant (dans une bobine).

1
 * Le régime forcé est le régime observé quand le circuits linéaires est soumis à une excitation. Par exemple lorsqu'on allume un générateur de courant et/ou de tension aux bornes du circuit.

Entre le régime transitoire et permanent :

1
2
3
 * Le régime transitoire est le régime d'évolution d'un circuit qui n'a pas atteint un état stable. Il apparait par exemple à l'ouverture ou à la fermeture d'un interrupteur. Il prend la forme d'un régime apériodique ou d'un régime pseudo-périodique.

 * Le régime permanent apparaît quand il s'est écoulé suffisamment de temps depuis l'enclenchement du système (fermeture d'un interrupteur par exemple), présentant des caractéristiques n'évoluant presque plus indépendament du temps.

Source

Je ne comprends absolument rien. C’est quoi une solution homogène ? Et Vin est une fonction, je ne comprends pas trop…

https://fr.wikipedia.org/wiki/Homog%C3%A9n%C3%A9it%C3%A9_(physique).

En relisant, le problème se situe en amont de ta résolution (qui est bonne), c’est $V_in$ qui n’est pas homogène. $V_{in}$ est homogène à une tension, elle s’exprimme en Volt ou multiple (mV, kV,…). $\sin(\omega t+\phi)$ est juste un nombre, il n’a pas d’unité, il est adimensionné. Et donc ca coince. Il faudrait écrire $V_{in}(t) = V_0 \sin(\omega t+\phi)$ pour avoir 2 choses exprimables en volt de chaque côté.

Ce problème se retrouve donc logiquement dans ta solution

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En relisant, le problème se situe en amont de ta résolution (qui est bonne), c’est $V_{in}$ qui n’est pas homogène.

Aah, d’accord !

Et pour le régime permanent/transitoire, je ne suis pas sûr de comprendre. Dans notre cas, le régime transitoire se trouve quand la partie exponentielle est non-négligeable, et le régime permanent quand elle devient négligeable ? Et dans tous les cas, c’est un régime forcé, donc, n’est-ce pas ?

Merci beaucoup !

(PS: une idée pour enlever la valeur absolue dans la résolution dans le premier post ?)

EDIT: pour la valeur absolue, on doit sauf erreur pouvoir l’enlever grâce à la constante qu’il y a devant le $e^{-Tt}$.

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