Un peu de mathématiques

Reprenons donc la formule vue plus haut : $\boxed{K=\frac{A}{1+i}+\frac{A}{(1+i)^2}+\frac{A}{(1+i)^3}+...+\frac{A}{(1+i)^n}}$ — Cela ressemble vachement à la somme des termes d’une suite géométrique, non ?
— Euh…

On va essayer de se rappeler un peu des mathématiques du lycée. Une suite, en mathématiques, c’est, ben euh, une suite de nombres, les uns à la suite des autres. Ça peut être la suite des nombres entiers, la suite des nombres pairs, une suite complètement aléatoire, la suite des multiples de trois…
Il existe deux types de suites particulièrement étudiées (notamment parce qu’on peut faire facilement des calculs dessus, contrairement à une suite aléatoire par exemple) :

• les suites arithmétiques : elles sont générées en partant d’un nombre (le terme initial) et en rajoutant un nombre fixe à chaque fois. Ainsi, en partant de $1$ et en rajoutant $3$ à chaque fois, on obtient la suite $1-4-7-10-13-...$
• les suites géométriques : elles sont générées en partant d’un nombre (le terme initial) et en multipliant par un nombre fixe à chaque fois. Ainsi, en partant de $1$ et en multipliant par $3$ à chaque fois, on obtient la suite $1-3-9-27-81-...$

Ainsi, la suite géométrique de terme initial $1$ et de raison $q$ sera la suite : $1, q, q^2, q^3, q^4...$

Or regardez notre formule du crédit immobilier :

• le premier terme de la formule est $\frac{A}{1+i}$
• si on le multiplie par $\frac{1}{1+i}$, on obtient $\frac{A}{(1+i)^2}$, qui est le deuxième terme de la somme
• si on multiplie ce deuxième terme par $\frac{1}{1+i}$, on obtient $\frac{A}{(1+i)^3}$, qui est le troisième terme
• et ainsi de suite…

Dans notre formule, $K$ est donc bien égal à la somme des termes d’une suite géométrique, de terme initial $\frac{A}{1+i}$ et de raison $\frac{1}{1+i}$.

Or, magie des suites géométriques, il existe une formule permettant de calculer une telle somme. En retrouvant nos souvenirs du lycée, ou en allant sur la page Wikipédia des suites géométriques, ou alors en regardant ce tutoriel, on obtient la formule :

$u_{0}(1+q+\cdots +q^{n-1})=u_{0}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\ \ (\text{si } q\neq 1)$ Démontrons cette formule :

Faisons quelques manipulations de notre formule, en mettant en facteur le premier terme :

$\displaystyle{\begin{array}{ccccccccccccc}K&=&&\frac{A}{1+i}&+&\frac{A}{(1+i)^2}&+&\frac{A}{(1+i)^3}&+&...&+&\frac{A}{(1+i)^n}&\\&\\K&=&\frac{A}{1+i}(&1&+&\frac{1}{1+i}&+&\frac{1}{(1+i)^2}&+&...&+&\frac{1}{(1+i)^{n-1}})\end{array}}$

Remarquez bien que comme on a factorisé le premier terme, le dernier terme n’est plus en $\text{puissance } n$ mais en $\text{puissance } n-1$.

On retrouve bien une expression de la forme :
$K = u_{0}(1+q+\cdots +q^{n-1}) \text{ avec } u_{0}=\frac{A}{1+i} \text{ et } q=\frac{1}{1+i}$ Ce qui nous donne, en appliquant la formule : $K=u_{0}\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{A}{1+i}\frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{1-\frac{1}{1+i}}$

Simplifions cette expression :

• Le dénominateur $1-\frac{1}{1+i}$ peut se factoriser en $\frac{(1+i)-1}{1+i}=\frac{i}{1+i}$
  qui se simplifie avec le $1+i$ au dénominateur de $\frac{A}{1+i}$

On obtient $K = \frac{A}{i}(1-\frac{1}{(1+i)^n})$
Qui peut s’écrire : $\boxed{K = \frac{A}{i}(1-(1+i)^{-n})}$

(car, on le rappelle, $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$)

Voilà donc la formule qui donne le capital emprunté. Elle permet de répondre à la question : connaissant ma capacité annuelle de remboursement $A$, quelle somme puis-je emprunter au taux $i$ sur $n$ années ?

---

Une question plus courante est : connaissant le taux $i$ et la somme que je veux emprunter, quel sera mon remboursement annuel ? Pour cela, il faut isoler $A$ dans la formule ci-dessus, ce qui donne : $\boxed{A = \frac{iK}{1-(1+i)^{-n}}}$

Il nous reste à chercher la formule donnant le nombre d’années de remboursement en fonction des autres critères.

En manipulant la formule $A = \frac{iK}{1-(1+i)^{-n}}$, on obtient :
$(1+i)^{-n} = 1-\frac{iK}{A}$

Problème : comment faire lorsque l’inconnue que l’on cherche (ici $n$) est en exposant dans l’expression ? On utilise les logarithmes. Qu’es acquo ? Encore un souvenir des années lycée.

Vous le voyez, cela a permis de sortir l’inconnue $n$ de sa position d’exposant, ce qui va permettre de continuer la résolution de notre équation. Reprenons donc :
$(1+i)^{-n} = 1-\frac{iK}{A}$ $\ln{(1+i)^{-n}} = \ln{\frac{A-iK}{A}}$ En utilisant les propriété des logarithmes pour la puissance et la division, on obtient :
$-n\ln(1+i) = \ln(A-iK) -\ln(A)$
D’où : $\boxed{n=\frac{\ln A-\ln(A-iK)}{\ln(1+i)}}$

— Depuis tout à l’heure, on parle d’annuités. Pour les mensualités, il suffit de diviser par 12, c’est ça ?
— Non. L’annuité, c’est ce qu’on aurait à rembourser par an si les intérêts étaient calculés tous les ans. Or pour un prêt normal ils sont calculés tous les mois, ce qui ne correspond pas exactement au même calcul.
— Comment ça ?
— Il faut refaire les calculs, mais avec un taux mensuel. Pour cela, il faut diviser ton taux annuel par 12. C’est ce qu’on appelle le taux proportionnel.
— Ben voilà, on divise donc l’annuité par 12.
— Non, regarde la formule de l’annuité : $A = \frac{iK}{1-(1+i)^{-n}}$. Pour calculer la mensualité, il faut diviser $i$ par 12, sans oublier de multiplier $n$ (le nombre d’années) par 12, vu que cette fois-ci on raisonne en nombre de mois.

Ce qui donne : $\boxed{M = \frac{K(i/12)}{1-(1+\frac{i}{12})^{-n\times 12}}}$ Ce qui, tu pourras t’en convaincre, n’est pas juste égal à l’annuité sur 12.

---

— Oui mais voilà. Un taux proportionnel par mois ne redonne pas exactement le taux annuel en douze mois.
— Ah ?
— Oui, souviens-toi du calcul d’inflation au début. 2% d’inflation ne donnait pas 4% sur 2 ans, mais $4,04$. C’est parce que les pourcentages ne s’additionnent pas. Or ici, avec le taux proportionnel, on considère que sur un an, on additionne 12 fois 1/12ème du taux chaque mois.
— Et donc ?
— Et donc il faut parler du taux équivalent.

Le taux équivalent

Soit $i$ le taux mensuel. Souviens-toi de la formule utilisée lorsqu’on applique 12 fois un taux. Si $V_i$ est notre capital initial et $V_f$ notre capital final au bout d’un an (12 mois), on a :
$V_f = V_i(1+i)^{12}$

Du coup, si $I$ est le taux annuel, utiliser $\frac{I}{12}$ comme taux mensuel revient à multiplier en un an ton capital par $(1+\frac{I}{12})^{12}$. Ce qui est légèrement supérieur à $(1+I)$.
— Ah mais du coup je me fais avoir sur mon crédit immobilier alors.
— Non ne t’inquiète pas, ce taux équivalent n’a pas vraiment d’impact sur un prêt. Tout simplement parce qu’un prêt immobilier ne multiplie pas ton capital. Par contre il est utile de le connaître quand il est question d’investissement ou d’inflation par exemple.

On l’a vu sur l’inflation, un taux annuel de 2% donne sur 2 ans un taux équivalent de 4,04%, et non 4%.

Un autre exemple, c’est le livret A : son taux est actuellement de $0,5$%. Or il faut savoir que les intérêts sont versés sur ton livret tous les 15 jours. Le taux appliqué chaque quinzaine est donc $\frac{0,005}{24}$, ce qui fait que annuellement, ton capital n’est pas multiplié par $1,005$ mais par $(1+\frac{0,005}{24})^{24}$
Bon, ça fait pas une grande différence, je te l’accorde. Ce n’est pas ça qui va te rendre riche.

Mais du coup cet aparté va me donner l’occasion de te présenter un autre objet mathématique :

En réalité, la fonction logarithme est la réciproque de la fonction puissance.
— Ce qui signifie ?
— Prenons des exemples :

• Si je fais $a + b = c$, pour retrouver $a$, je fais $a = c - b$
  On peut dire que la soustraction est la réciproque de l’addition, c’est l’opération qui permet de l’annuler.
• De même, si je fais $a \times b = c$, pour retrouver $a$, je fais $a = c / b$
  Comme tout à l’heure, la division est la réciproque de la multiplication, c’est l’opération qui permet de l’annuler.
• Maintenant, si je fais $a^2 = c$, comment je fais pour retrouver $a$ ?
  Je fais $a =$ racine carrée de $c$.
  De même, pour $a^3 = c$, j’ai $a =$ racine cubique de $c$, pour $a^4 = c$, j’ai $a =$ racine quatrième de $c$, pour $a^n = c$, j’ai $a =$ racine n-ième de $c$, etc.

— On a encore là des opérations réciproques. La racine carrée, c’est l’opération qui permet d'annuler l’opération de mise au carré, La racine cubique, c’est l’opération qui permet d'annuler l’opération de mise au cube…

— Eh bien tu l’as dit au début, c’est le logarithme
— Plutôt les logarithmes. Si j’ai $2^a$, la réciproque sera un logarithme en base deux, si j’ai $3^a$, la réciproque sera un logarithme en base trois, si j’ai $n^a$, la réciproque sera un logarithme en base $n$,…
Exactement comme on avait plusieurs types de racines : racine carrée, racine cubique, racine n-ième…
Donc tout comme on avait $\sqrt{x^2} = x$, on a :

• $\log_2(2^x) = x$,
• $\log_3(3^x) = x$,
• $\log_n(n^x) = x$ (ce qui se lit logarithme en base $n$)…

Maintenant, regardons une des propriétés de l’opération puissance. On sait que la puissance, c’est une succession de multiplications : $a^n = a \times a \times a \times a \times ... \times a$
Or si on fait $a^{n+m}$, cela donne visuellement :
$\underbrace{\overbrace{a \times a \times a \times ... \times a}^{n fois} \times \overbrace{a \times a \times ... \times a}^{m fois}}_{a^{n+m}} = \underbrace{(a \times a \times a \times ... \times a)}_{a^{n}} \times \underbrace{(a \times a \times ... \times a)}_{a^{m}}$

Tu vois apparaitre la propriété : $a^{n+m} = a^{n}\times a^{m}$ Autrement dit, l’opération puissance transforme les additions en multiplication.

Et bien, réciproquement, son opération inverse, le logarithme, transforme les multiplications en additions, ce qui est la propriété que nous avons utilisée dans nos calculs bancaires ci-dessus : $\boxed{\log (a \times b) = \log a + \log b}$

---

— Ah non, dans les calculs, on n’a pas utilisé $\log$ mais $\ln$. On ne sait toujours pas ce qu’est un logarithme népérien.

Alors dans le calcul de croissance continue, on a fait apparaître un nombre, $e$, égal à $2,718...$ et des poussières. Et on était arrivé à l’expression suivante :
$\log e^y =\log(1+x)$
(considère pour l’instant que c’est n’importe quel logarithme qui est utilisé)
Or en voyant cette expression, dans laquelle on cherchait $y$, on aimerait bien que le logarithme en question annule la puissance $e^y$. Donc que ce soit l’opération réciproque de l’opération « puissance de $e$ ».

— Ah, il faudrait que le logarithme utilisé soit un logarithme en base $e$ en fait, ce qui permettrait d’avoir $\log_e e^y = y$.
— Exactement. Et le logarithme en base $e$, c’est le logarithme népérien, qu’on a noté $\ln$.
— Énorme, tout s’éclaire !

Et quand on a dit que $\ln e = 1$, c’est parce que $e$, on peut l’écrire $e^1$, et que $\ln e^1 = 1$ (car fonction réciproque). D’ailleurs de manière générale, pour tous les logarithmes :
$\log_n n = 1$