Représentation des réels en machine

Il existe des solutions pour représenter les réels de manière exacte en machine. Cependant, les contraintes de performance restreignent l’usage de ces méthodes au calcul formel. Les autres usages utilisent ainsi systématiquement des représentations approximatives des réels, qui sont les seules à remplir les exigences principales pour le calcul numérique, à savoir l’amplitude, la précision, et la performance.

Amplitude

L’amplitude d’une représentation correspond aux ordres de grandeur des nombres représentables. Il est nécessaire de pouvoir représenter à la fois des nombres très grands et très petits pour que les scientifiques s’y retrouvent.

En physique, par exemple, les ordres de grandeurs s’étalent entre 10⁸⁰ (volume de l’univers observable, en mètres cubes) et 10^-45 (volume d’un proton, en mètres cubes).

En mathématique, il est facile de générer des nombres encore plus extrêmes. Vous connaissez peut-être l’extrait de poème suivant.

Je fais souvent ce rêve étrange et pénétrant
D’une femme inconnue, et que j’aime, et qui m’aime,
[…]

La probabilité de taper du premier coup ce texte de 105 caractères, espaces compris, en frappant aléatoirement les touches d’une machine à écrire, est de 45^-105, soit environ 10^-174. Si l’on considère le nombre de textes de 105 caractères que ce procédé peut générer, on trouve l’ordre de grandeur inverse, c’est-à-dire 10¹⁷⁴.

Précision

La précision d’une représentation est encore plus importante que son amplitude. La précision correspond au nombre de chiffres significatifs qui peuvent être stockés.

En physique, les constantes connues avec le plus de précision ne dépassent pas la vingtaine de chiffres significatifs. Par exemple, la constante de Coulomb est connue avec 17 chiffres et la charge élémentaire avec environ 10 chiffres.

Ces deux constantes se côtoient dans les calculs d’électrostatique, mais n’ont pas du tout le même ordre de grandeur (10⁹ pour la constante de Coulomb et 10^-19 pour la charge élémentaire). Il est donc important que la représentation des réels utilisée garde la même précision quel que soit l’ordre de grandeur.

Performance

La performance correspond à la rapidité avec laquelle les calculs peuvent s’effectuer. Il est en effet hors de question d’attendre l’éternité pour obtenir un résultat. Il s’agit aussi d’être performant sur toutes les machines couramment utilisées.

La plupart des ordinateurs partagent la même architecture globale, conçue autour d’un processeur. Ce composant effectue des calculs en manipulant des groupes de bits de taille fixe appelés mots machine. La taille de ces mots est la caractéristique principale d’un processeur. On entend ainsi souvent parler de processeurs 64 bits ou 32 bits. Pour être le plus rapide possible, il est intéressant d’avoir un format de nombre pour lequel le câblage des opérations du processeur est performant. Cela passe par des compromis, notamment le fait de favoriser un format sur un seul mot machine.

Il existe différentes familles de représentation des réels qui remplissent les critères d’amplitude, précision et performance, mais la plus utilisée est sans conteste la représentation à virgule flottante.

L’idée générale des nombres à virgule flottante est de stocker les chiffres significatifs d’une part et l’ordre de grandeur d’autre part. Ils s’opposent aux nombres à virgule fixe, dont l’idée générale consiste à stocker tous les chiffres du nombre.

Rappel sur la notation scientifique

En base 10

En base 10, la notation scientifique d’un réel prend la forme suivante :

$s\times 10^{e}$

avec :

• $e$ un entier relatif, appelé exposant,
• $s$ un réel, tel que $1 \leq |s| < 10$ ou $s = 0$, appelé significande.

Le significande correspond aux chiffres significatifs (et au signe), tandis que l’exposant correspond à l’ordre de grandeur.

L’exposant et le significande sont suffisants pour définir un nombre en notation scientifique. Plus précisément, il suffit du signe du significande, de ses chiffres et de l’exposant. Il n’y a pas besoin de s’encombrer du chiffre 10 une fois que le choix d’utiliser la notation scientifique a été fait.

En base 2

En base 2, la notation scientifique d’un réel prend la forme suivante :

$s \times 2^e$

avec :

• $e$ un entier relatif, l'exposant,
• $s$ un réel, tel que $1 \leq |s| < 2$ ou $s = 0$, le significande.

Tout ça est évidemment très similaire à la notation en base 10. Le 10 se transforme en 2, et le significande se retrouve entre 1 et 2, au lieu d’être entre 1 et 10. Similairement, l’exposant, le significande et le signe suffisent à définir le nombre, sans besoin de s’encombrer du chiffre 2 une fois que le choix de la notation scientifique a été fait.

Nombres à virgule flottante

En informatique, un nombre à virgule flottante est tout simplement la donnée d’un significande et d’un exposant. Comme, il n’est pas trivial de stocker efficacement des chiffres en base 10, les représentations à virgule flottante généralement utilisées sont fondées sur la notation scientifique des nombres en base 2.

Stocker un nombre à virgule flottante est très simple, car il suffit de stocker les chiffres (binaires) du significande, son signe et l’exposant. Un seul bit suffit pour le signe, auquel on adjoint un certain nombre de bits pour stocker les chiffres du significande et l’exposant. Il n’y a pas besoin d’utiliser d’astuces ou de structures de données compliquées.

Satisfaction des exigences de représentation des réels

Combien de bits sont nécessaires pour obtenir une amplitude et une précision satisfaisantes ? Pour le savoir, revenons un peu sur les ordres de grandeur.

Pour satisfaire l’amplitude, il faut stocker l’exposant, qui est un entier relatif. En calculant avec largesse, il suffit d’avoir quelques centaines d’entiers, pour $e$ entre -1000 et 1000 (dans la notation scientifique en base 2), on atteint des ordres de grandeurs entre 10^-300 et 10³⁰⁰. Une petite dizaine de bits suffit donc, car 10 bits permettent déjà de stocker 2¹⁰ = 1024 valeurs.

Pour satisfaire la précision, il faut stocker une petite quinzaine de chiffres en base 10. Cela correspond à une précision de l’ordre de 10^-15 (15 décimales) sur le significande, soit de l’ordre de 2^-50 (50 bits de partie fractionnaire). Il faut donc quelques dizaines de bits pour stocker le significande.

Par ailleurs, comme l’exposant et le significande sont stockés indépendamment, l’ordre de grandeur n’a aucune influence sur la précision du significande, ce qui est parfait pour les calculs mêlant divers ordres de grandeur.

En somme, il suffit de quelques dizaines de bits pour stocker tout le nécessaire, c’est-à-dire la taille des mots machine usuels. Par conséquent, on arrive à obtenir assez facilement une représentation performante des réels.

Le nombre et l’organisation exacte des bits formant un flottant sont définis dans ce qu’on appelle des formats de nombres à virgule flottante. Il existe différents formats standards, dont le plus utilisé est un format binaire sur 64 bits, qui est décrit plus en détails dans la prochaine section.

Au début de l’ère informatique, de nombreux formats de flottants coexistaient et étaient bien sûr incompatibles. Pour mettre fin au chaos, quelques formats standards ont été définis dans la norme IEEE 754. Le plus utilisé est le format binaire double précision, aussi appelé binary64.

Dans ce format, les flottants sont des nombres écrits en notation scientifique en base 2, sous la forme suivante :

$\pm s \times 2^{e}$

avec les éléments suivants :

• le signe, positif ou négatif ;
• le significande $s$, un réel positif tel que $1 \leq s < 2$ ;
• l’exposant $e$, un entier relatif.

Cette forme recouvre celle présentée dans la section précédente, sauf que j’ai séparé le signe, et donc le significande est toujours positif. Dans un cas très particulier, le significande pourra être inférieur à 1, mais nous reviendront dessus plus tard.

L’ensemble de ces éléments sont stockés sur 64 bits, dont :

• un champ de 1 bit pour le signe,
• un champ de 52 bits pour la partie fractionnaire de $s$, appelée mantisse, c’est-à-dire les chiffres après la virgule uniquement,
• un champ de 11 bits pour l’exposant.

Le bit de signe vaut 0 pour le signe plus et 1 pour le signe moins.

Le champ de 52 bits stocke uniquement la mantisse, c’est-à-dire la partie fractionnaire du significande. Pourquoi seulement la partie fractionnaire ? Eh bien, parce que la partie entière du significande est constante et égale à 1. En effet, le significande étant entre 1 et 2 exclu, il est de la forme [1,…]. Comme le champ fait 52 bits, cela signifie qu’on stocke 52 chiffres binaires après la virgule, auquel s’ajoute le bit fantôme de la partie entière.

Le champ de 11 bits restant code un entier relatif compris entre -1023 et 1024¹. Les valeurs entre -1022 et 1023 sont des valeurs d’exposant. Autrement dit, $e$ est entre -1022 et 1023. Les deux valeurs restantes sont des valeurs spéciales, utilisées pour deux cas particuliers :

• Si le champ prend la valeur spéciale +1024, le flottant représente $\pm \infty$ pour une mantisse nulle et un NaN sinon. NaN est l’acronyme de Not a Number, c’est-à-dire qu’il s’agit d’une valeur indéterminée, comme le résultat de $0 \times \infty$.

• Si le champ prend la valeur spéciale -1023, alors on rentre dans le domaine des nombres dénormalisés (voir encadré ci-dessous). De tous les dénormalisés, le seul important est zéro. Il est représenté avec le signe positif ou négatif (il y a deux zéros !), une mantisse nulle, et bien sûr l’exposant -1023.

Le tableau suivant contient quelques exemples de flottants.

La norme IEEE 754 définit de nombreux autres formats à virgule flottante. Ils permettent d’avoir des flottants pour différentes tailles de mots machine (16, 32, 64, 128), voire carrément d’utiliser une représentation décimale, c’est-à-dire une véritable notation scientifique en base 10.

Formats binaires

Les formats binaires sont des formats où la mantisse est stockée sous forme binaire, c’est-à-dire la méthode classique. On peut remarquer que la mantisse prend une place toujours plus importante par rapport à l’exposant.

Format décimaux

Pour les formats décimaux, la mantisse est codée sous forme décimale binaire, c’est-à-dire que chaque chiffre décimal est représenté directement en binaire. Cette technique offre des avantages pour effectuer de manière exacte certains calculs (financiers par exemple), mais ce n’est pas l’objet de ce cours.