Équations du premier degré

Tout de suite une bonne nouvelle : cette section va être courte. En effet, nous savons déjà tout ce qu’il faut savoir pour résoudre les équations du premier degré : l’inconnue $x$ n’apparaît qu’une seule fois dans la forme $ax+b=0$, il suffit donc de deux petites transformations pour aboutir à la solution :

Le schéma de l’équation est le suivant.

Les deux opérations étant réversibles, le schéma de résolution s’obtient facilement en inversant le chemin :

Nous avons donc la solution de notre équation :

$x=−\frac{b}{a}$

Nous venons de résoudre l’équation sans problème grâce à nos petits schémas, mais remarquez que l’on serait arrivé au même résultat en utilisant uniquement le langage algébrique :

$ax+b=0\Leftrightarrow ax=−b \Leftrightarrow x=−\frac{b}{a}.$

La première étape consiste à faire passer le $b$ de l’autre côté en le soustrayant et la seconde fait passer le $a$ de l’autre côté en divisant. Ceci permet d’obtenir le $x$ tout seul.

Rassurez-vous, nous n’allons pas abandonner tout de suite nos schémas de résolution, mais nous allons commencer une transition en douceur et il va falloir que vous vous habituiez peu à peu à résoudre les équations grâce au langage algébrique. Ça peut sembler un peu abstrait au départ, mais c’est tellement plus pratique une fois qu’on le maîtrise.

Après la théorie, la pratique. Dans cette section, je vous propose quelques énigmes qui se résolvent grâce à des équations du premier degré. Essayez de chercher les réponses par vous-même avant de regarder les solutions !

La bosse des équations

Pour pouvoir répondre, il est bon de savoir qu’un chameau a deux bosses tandis qu’un dromadaire n’en a qu’une.

L’épitaphe de Diophante

L’énigme que nous allons voir maintenant est sans doute la plus célèbre de toutes les équations du premier degré de l’histoire des mathématiques. Il s’agit de l’épitaphe (texte gravé sur la tombe) du mathématicien Diophante d’Alexandrie qui a vécu au IIIe siècle. Voici une traduction de ce que l’on pouvait lire sur cette tombe :

Passant, sous ce tombeau repose Diophante.

Ces quelques vers tracés par une main savante

Vont te faire connaître à quel âge il est mort.

Des jours assez nombreux que lui compta le sort,

Le sixième marqua le temps de son enfance ;

Le douzième fut pris par son adolescence.

Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula,

Puis s’étant marié, sa femme lui donna

Cinq ans après un fils qui, du destin sévère

Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père.

De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.

Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Quel âge ?

Le plus dur dans cette énigme, ce n’est pas de résoudre l’équation, c’est de réussir d’abord à trouver l’équation sans s’embrouiller à partir de l’énoncé. Faites chauffer vos neurones et réfléchissez tranquillement vous pouvez y arriver !

Lorsque l’on a une équation dont on a passé tous les termes à gauche, il est possible de considérer la fonction associée. Pour les équations du premier degré, ces fonctions sont celles de la forme :

$f(x)=ax+b.$ Ces fonctions se nomment des fonctions affines.

Quand on étudie une équation, on ne s’intéresse finalement qu’aux valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est égal à 0. En étudiant la fonction en général, on regarde également ce que donne cette expression pour d’autres valeurs de $x$. À première vue cela peut sembler superflu, mais en réalité cela permet de prendre du recul et donc de mieux comprendre le fonctionnement de l’équation.

Quand on a une fonction réelle, on peut la représenter dans un repère composé de deux axes : celui des abscisses (horizontal) et celui des ordonnées (vertical) :

Prenons par exemple la fonction affine $f(x)=2x−1$, alors on place les points de la façon suivante : pour chaque $x$, on met dans le repère un point ayant pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$. Voici trois exemples :

• si $x=−1$, alors $2x−1=−3$ ;
• si $x=1$, alors $2x−1=1$ ;
• si $x=2$, alors $2x−1=3$.

Cela donne les trois points suivants :

Et si on trace tous les points en faisant varier $x$, on obtient une droite :

Le fait d’obtenir une droite est tout à fait normal, c’est justement la particularité des fonctions affines. Toutes les fonctions affines se représentent par une droite et les paramètres $a$ et $b$ jouent de la façon suivante :

• Le nombre $a$ s’appelle le coefficient directeur et représente la pente de la droite. Si $a$ est positif, la droite monte de gauche à droite et plus $a$ est grand, plus elle monte vite. Si au contraire $a$ est négatif, la droite descend.
• Le nombre $b$, s’appelle l’ordonnée à l’origine, c’est la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Voici quelques exemples de droites obtenues de cette façon :

Les solutions de l’équation correspondent alors aux points où la fonction vaut 0, c’est-à-dire aux intersections avec l’axe des abscisses.

Vu que les fonctions affines sont des droites, elles coupent l’axe des abscisses en un seul point qui correspond à la solution que nous avions trouvée. Voici sa représentation pour l’équation $2x−1=0$ pour laquelle on trouve bien $x=1/2$.