Équations de degré supérieur

Les équations du troisième degré

Après la résolution des équations du second degré par Al-Khawarizmi au IXe siècle, les mathématiciens se sont attaqué, d’abord sans succès aux équations du troisième degré, c’est-à-dire celles de la forme

$ax^3+bx^2+cx+d=0.$

Après plusieurs siècles d’essais sans résultats, les mathématiciens finirent par penser qu’il était impossible de résoudre ces équations de façon algébrique. C’est notamment la thèse avancée par le mathématicien italien Luca Pacioli dans son ouvrage de 1494, Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita considéré à l’époque comme une référence.

Jusqu’au jour où, en 1535, deux mathématiciens italiens, Antonio Maria Fior et Niccolo Tartaglia se lancèrent un défi. Les mathématiciens ont toujours aimé se lancer des défis et cette fois-ci la règle était la suivante : chacun des deux adversaires posait trente problèmes à son concurrent à résoudre avant une date donné. Le vainqueur, c’est-à-dire celui qui résoudrait le plus de problèmes se verrait alors offrir trente banquets par le vaincu !

Fior proposa à Tartaglia trente problèmes basés sur des équations du troisième degré, pensant que son adversaire ne parviendrait jamais à les résoudre. Mais c’était sans compter sur la persévérance de ce dernier qui, quelques jours seulement avant la fin du délai, parvint à trouver la règle que tout le monde cherchait depuis plusieurs siècles et résolut ses trente problèmes.

La nouvelle fit grand bruit, seulement voilà, dans les semaines qui suivirent, Tartaglia refusa de divulguer la règle qu’il avait trouvée, préférant la garder pour lui !

Ce secret n’était pas du tout de goût d’un autre mathématicien italien dénommé Girolamo Cardano (parfois francisé en Jérôme Cardan) qui usa de toutes les ruses pour essayer de faire parler Tartaglia. Il finit par y parvenir lors d’une entrevue à Milan en 1539 au cours de laquelle, Tartaglia lui transmis sa méthode, mais en lui faisant jurer qu’il ne la répéterai à personne. Cette méthode de résolution, vous en connaissez déjà une partie, car Tartaglia l’avait rédigée en vers et il s’agit du poème mathématique que nous avons vu dans le premier chapitre de ce cours.

Eh oui, car à cette époque, nous en sommes encore à l’algèbre rhétorique.

Dans un premier temps, Cardan tint sa parole. Jusqu’au jour où, ayant pu consulter les notes laissées d’un autre mathématicien, Scipionne del Ferro, mort en 1526, il réalisa que ce dernier avait déjà découvert en partie la règle de Tartaglia. À partir de là, Cardan se considéra libéré de sa promesse puisque même si Tartaglia ne lui avait pas expliquée sa méthode, il l’aurait à ce moment découverte dans les papiers de del Ferro.

En 1545, Cardan publia l'Ars Magna dans lequel il présente en détail la méthode de résolution des équations du troisième degré. Et comme la vie est injuste, cette méthode se nomme depuis lors la méthode de Cardan.

Ce n’est pas tout ça, mais je suis sûr que vous brûlez de voir à quoi ressemblent les formules de Cardan. Je vous préviens, la formule n’est pas belle à voir. Alors prenez une grande respiration et c’est parti, voici les trois solutions :

Ça fait peur hein ? Bien sûr ces solutions ne correspondent qu’au cas ou il y a effectivement trois solutions. Comme pour les équations du second degré il est possible qu’il y en ait moins. Il peut n’y en avoir que deux ou bien une seule, mais pas zéro : une équation du troisième degré a toujours au moins une solution !

Les équations du quatrième degré

Après les équations du troisième degré, celles du quatrième tombèrent immédiatement.

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0.$

En 1540, un élève de Cardan du nom de Ludovico Ferrari avait découvert une méthode permettant de trouver les solutions d’une équation de degré 4 pourvu que l’on sache résoudre les équations de degré 3. Ainsi, ces solutions furent connues dès que Cardan parvint à obtenir la formule de Tartaglia. La méthode de résolution du degré 4 fut publiée dans l’Ars Magna de Cardan en 1545, en même temps que celle du degré 3.

Un, deux, trois, quatre… Pourquoi ne pas continuer en si bonne voie en s’attaquant aux équations de degré 5 ou plus. C’est ce que firent de nombreux mathématiciens dans les siècles qui suivirent la publication de l’Ars Magna de Cardan. Hélas sans succès au début, jusqu’à ce que de nouvelles approches permettent de jeter un nouvel éclairage sur ces équations.

Le théorème fondamental de l’algèbre

Nous l’avons vu dans la section précédente, la méthode de résolution des équations de degré 3, obligeait l’utilisation de racines carrées de nombres négatifs. Au départ, ces racines carrées n’étaient pas considérées comme des vrais nombres, mais seulement des artifices intermédiaires pour faire les calculs. Mais avec le temps, les mathématiciens se sont mis à bien aimer ces nombres et à les apprivoiser. Ils les nommèrent les nombres complexes.

Peu à peu, on se mit aussi à chercher les solutions des équations qui étaient des nombres complexes. Grâce à ces nombres, toutes les équations du second degré avaient désormais des solutions puisque l’on pouvait prendre la racine carrée du discriminant $\Delta$ même lorsque celui-ci est négatif.

Et c’est grâce aux nombres complexes que l’on put formuler un résultat très général sur les équations de n’importe quel degré. Ce résultat se nomme le théorème fondamental de l’algèbre ou théorème de d’Alembert-Gauss et considère les équations de degré $n$ quelconque :

$a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0.$

Le théorème dit alors que cette équation possède une forme factorisée composée de la multiplication de $n$ petites équations du premier degré :

$a_n(x−α_1)(x−α_2)\cdots (x−α_{n−1})(x−α_n)=0.$

Ainsi, dans cette forme factorisée, les nombres $α_i$ sont les nombres complexes solution de notre équation.

Ruffini, Abel et Galois

Le théorème fondamental de l’algèbre est bien joli, il dit que toutes ces équations ont des solutions, mais il ne nous donne pas de formule pour les calculer. Pour l’instant nous ne disposons toujours de formules concrètes que pour les degrés 1, 2, 3 et 4. Et pendant plusieurs siècle personne n’en trouva pour les degrés supérieurs, au point que beaucoup de mathématiciens avaient fini par se détourner de ce problème.

Jusqu’à ce qu’au début du XIXe siècle se produisit un coup de théâtre : un jeune mathématicien norvégien du nom de Niels Henrik Abel démontra que cela n’était pas possible. Il n’existe pas de formule donnant les solutions d’une équation de degré 5 ou plus. Avant lui, le mathématicien italien Paolo Ruffini avait également découvert cette impossibilité mais n’était pas parvenu à la prouver complètement.

Pour être plus précis, il n’existe pas de formule utilisant les quatre opérations de base et des racines. En effet, vu que les équations polynomiales n’utilisent que les quatre opérations et des puissances, il est tout naturel de vouloir les résoudre en n’utilisant que leurs opérations inverses. C’est ceci dont Abel montra que c’était impossible.

Ce théorème se nomme le théorème d’Abel, ou parfois théorème d’Abel-Ruffini.

L’histoire ne s’arrête pas tout à fait ici, car si Abel avait démontré qu’il n’y avait pas de formule générale pour toutes les équations du cinquième degré, cela ne signifiait pas forcément que ces équations ne pouvaient pas être résolues individuellement et leurs solutions exprimées à l’aide des quatre opérations et des racines.

C’est le mathématicien français Évariste Galois qui mit un point final à cet espoir en montrant que la plupart des équations de degré 5 ou plus ne pouvaient pas être résolues de cette façon. C’est le cas par exemple de l’équation suivante :

$x^5−3x−1=0.$

L’histoire est cruelle car Abel mourut de la tuberculose à 26 ans et Galois mourut à 20 ans à la suite d’un duel. Malgré son jeune âge, Galois avait développé pour pouvoir démontrer la non résolubilité des équations une théorie révolutionnaire que les mathématiciens qui suivirent mirent plusieurs décennies à comprendre et qui continue d’être utilisée de nos jours : la théorie de Galois.

Cela laisse rêveur sur ce qu’aurait pu accomplir ces deux mathématiciens de génie s’ils avaient vécu plus longtemps.