Le dernier des nombres ?

La racine carrée

Si je vous demande la racine carrée de $4$, que me répondez-vous ? $2$ bien sûr !!
Pourtant revenons à la définition de la racine carrée : c’est l’opération inverse du carré. La racine carrée de $4$, c’est donc le nombre $x$ tel que, si on le multiplie par lui-même, on obtient $4$ (c’est l’équation bien connue $x^2 = 4$).
Or, vous savez que cette équation a deux solutions : $2$ et $-2$. $4$ devrait donc avoir deux racines !
D’ailleurs cette constatation est compatible avec l’interprétation géométrique de la multiplication, que nous avions vue quelques chapitres plus tôt : multiplier par $z$, c’est multiplier l’argument par $|z|$ et tourner d’un angle $arg(z)$.
Ainsi :

• lorsqu’on fait $2 \times 2$, on part de $1$, on multiplie le module par $4$, et on tourne deux fois de $0°$ (qui est l’argument du nombre $2$).
• lorsqu’on fait $(-2) \times (-2)$, on part de $1$, on multiplie le module par $4$, et on tourne deux fois de $180°$ (qui est l’argument du nombre $-2$).

Dans les deux cas, on retombe bien sur le nombre $4$.

Mais dans l’ensemble des complexes, souvenez-vous, il n’y a pas de relation d’ordre, et donc plus de notion de nombre positif ou négatif (la notion supérieur ou inférieur à $0$ n’a plus de sens dans $\mathbb C$).
Dans $\mathbb C$, nous sommes donc obligés de prendre en considération toutes les racines. Nous allons mieux le voir avec les racines cubiques.

La racine cubique

Pour simplifier, nous allons nous débarrasser du module en travaillant avec les racines de $1$, communément appelées les racines de l’unité.
Donc, question : quelles sont les racines cubiques de $1$ ?

Il y a tout d’abord celle que l’on connait tous : $1$ (car $1 \times 1 \times 1 = 1$).
Y en a-t’il d’autres ? Utilisons la géométrie des nombres pour répondre à cette question : en partant de $1$, quelle rotation permet, lorsqu’on l’effectue $3$ fois, de retomber sur $1$ ?

Le nombre ayant pour argument $\frac{2\pi}{3}$ et pour module $1$ est donc une racine cubique de l’unité. Il s’agit du nombre $\omega = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. En effet,
$(e^{i\frac{2\pi}{3}})^3 = e^{i.2\pi} = 1$ (on a fait un tour complet)
Mais ce n’est pas tout : remarquez que le nombre $\displaystyle{\omega^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}}}$ est aussi une solution. En effet,
$(e^{i\frac{4\pi}{3}})^3 = e^{i.4\pi} = 1$ (on a fait deux tours complets).

D’une manière générale, les racines n-ièmes de l’unité sont des nombres de la forme $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, avec $k = \{0, ..., n - 1\}$.

Je vous laisse par exemple chercher par vous-mêmes : quelles sont les racines quatrièmes de l’unité ?

On peut en fait généraliser ces résultats avec le théorème suivant :

Les polygones constructibles

Ce théorème va nous servir à répondre à notre question existentielle. Mais nous allons juste faire une petite digression dans la géométrie pour montrer un peu la puissance des nombres complexes.

Lorsque l’on représente les racines n-ièmes de l’unité dans le plan complexes, on voit qu’elles forment un polygone régulier à $n$ cotés.

Ce constat permettra à Gauss de résoudre un problème millénaire : quels sont les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.
Petite explication : une droite est représentée algébriquement par une équation du premier degré (par exemple $ax + by = c$), tandis qu’un cercle est représenté par une équation du second degré (par exemple $x^2 + y^2 = c$). Un point constructible est donc à l’intersection de droites et/ou de cercles. Ses coordonnées doivent donc être solutions d’équations du second degré maximum. Est donc constructible un point dont les coordonnées s’écrivent à l’aide de nombres entiers, des quatre opérations et de racines carrées (par exemple, $1 + \sqrt {2 + \sqrt 3}$ est constructible).
Gauss va donc étudier la constructibilité des racines de l’unité. Il montrera qu’une racine n-ième est constructible si $n$ est un nombre premier de la forme $\displaystyle{2^{2^k} + 1}$, avec $k$ entier.
Sont donc constructibles par exemple les polygones à $3$, $5$, $17$, $257$ et … $65537$ côtés. (Pour la petite histoire, la procédure pour construire ce dernier polygone a été décrite par Johann Gustav Hermes, après dix ans d’efforts et en 200 pages d’instructions en 1894).

Nous avons là un petit aperçu de la puissance offerte par les nombres complexes aux mathématiciens, dans des domaines qui n’avaient à priori rien à voir.

Nous avons vu que $1$ avait $n$ racines n-ièmes dans $\mathbb C$. De même, nous avions vu qu’une équation du second degré avait toujours deux racines, et qu’une équation du troisième degré en avait trois. Se pourrait-il que ce résultat se généralise ? Une équation du n-ième degré a-t-elle toujours $n$ solutions dans $\mathbb C$ ?

Si la réponse est positive, cela clôturerait la quête que nous avons mené depuis le début du tuto : la recherche de nombres permettant de résoudre toutes les équations.

Mais pour répondre à cette question, il va nous falloir réfléchir un peu à la représentation géométrique d’un polynôme. Dans $\mathbb R$, on représente un polynôme par une courbe dans un repère cartésien. L’intersection de la courbe avec l’axe des absisses nous donne les éventuelles racines réelles.

Dans l’ensemble des complexes, c’est un peu plus compliqué. Si on prend un nombre $x$ dans le plan complexe, son image par une fonction $f$ sera un autre point du plan. On a donc une sorte de « mapping » entre le plan complexe et le plan image. Si $x$ parcourt un certain chemin dans le plan, son image $f(x)$ parcourt un autre chemin dans le même plan, comme ceci par exemple :

Nous cherchons donc s’il existe un nombre $z$ tel que la courbe de $f(z)$ passe par $0$.
Prenons pour l’exemple le polynôme $f(z) = z^n + ... + a_1z + a_0$.

Nous allons procéder en deux étapes :

• Prenons $z$ très grand (c’est-à-dire avec un module très grand). Tous les termes du polynôme deviennent négligeables devant le terme $z^n$ de plus haut degré. On peut donc dire que $f(z)$ se comporte comme $z^n$. Faisons alors parcourir à $z$ un cercle très grand centré sur l’origine, de rayon $|z| = cste$. Son image par $z^n$ est un autre cercle de rayon encore plus grand (de rayon $|z|^n$), qui entoure également l’origine.
• Prenons maintenant $z$ égal à $0$. Son image par $f$ vaut $a_0$.

Maintenant que se passe-t-il entre ces deux extrêmes ? Lorsque $z$ passe de manière continue d’un nombre très grand à $0$, son image passe continûment d’une courbe fermée entourant l’origine à une valeur $a_0$. On peut donc en déduire que la courbe va passer à un moment par le point d’origine $z = 0$ (Imaginez un lacet entourant le point $0$ et que vous comprimez pour le réduire à un point, vous êtes obligés de faire passer ce lacet par le point $0$).

Nous venons de montrer que $f$ possède donc toujours au moins une racine. Or nous savons que si $z_1$ est racine d’un polynôme $P(z)$ de degré $n$, celui-ci peut s’écrire :
$P(z) = (z - z_1)Q(z)$, avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$. Polynôme qui possède donc forcément une racine, donc peut se factoriser en un polynôme de degré inférieur, qui possède une racine, donc peut se factoriser…

Par récurrence, on a donc montré qu’un polynôme de degré $n$ à coefficients complexes possède $n$ racines dans $\mathbb C$ : C’est le théorème fondamental de l’algèbre ou théorème de d’Alembert-Gauss.

On dit que $\mathbb C$ est algébriquement clos.

Pour une explication un peu plus détaillée de la démonstration développée ici, une petite vidéo sympa, de la chaîne Numberphile :