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Approche du sujet

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Dans ce chapitre, nous allons aborder les outils qui nous seront utile par la suite. Nous commencerons par rappeler les définitions et interprétations graphiques des conditions de continuité et dérivabilité. Puis nous donnerons une définition rigoureuse du terme « voisinage » fréquemment utilisé dans ce qui suivra.

Il est nécessaire d’insister sur l’importance de ce chapitre. Le lecteur doit bien le comprendre avant de passer à la suite, sous peine d’être perdu dans le formalisme à venir.

Pourquoi des développements limités

Avant même d’aborder le sujet, on peut se demander pourquoi lire un tel tutoriel. Que va permettre un « développement limité » ?

La continuité

Nous aurons la possibilité de définir par des voisinages la notion de continuité. Mais avant celle-là, rappelons brièvement la définition la plus courante de la continuité.


Définition

Soit f:IRf : I \to \mathbf{R} une fonction numérique où II est un intervalle de R\mathbf{R}. Soit aIa\in I. On dit que ff est continue en aa si la limite : limxaf(x)\lim_{x\to a}f(x)

existe, est finie et elle est alors nécessairement égale à f(a)f(a).


Cela signifie exactement qu’il existe ϵ:IR\epsilon : I \to \mathbf{R} telle que f(x)=f(a)+ϵ(xa)f(x) = f(a) + \epsilon(x-a)

et où ϵ(xa)\epsilon(x-a) tend vers 00 quand xx tend vers aa.

Vous connaissez certainement beaucoup de fonctions continues. En voilà une : xR,f(x)=x.\forall x\in \mathbf{R}, \; f(x) = | x |.

C’est la fameuse fonction « valeur absolue ». Cette fonction est continue partout sur R\mathbf{R} (montrez-le à partir de la définition !). En particulier, elle est continue en 00.

Ainsi, si je prends un xx réel assez proche de 00 (par exemple 101910^{-19}) alors x|x| sera assez proche de 0=0|0|=0.

Graphiquement cela se voit très bien :

En bleu nous avons la courbe représentative de xxx\mapsto |x| et en rouge x0x\mapsto 0 l’application identiquement nulle.

On observe que plus la distance entre xx et 00 est petite, plus la distance entre x|x| et 0=0|0|=0 est petite. C’est ce que dit la définition.

La dérivabilité

La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Cela signifie que si ff est dérivable en aa alors elle est continue en aa.

Plus formellement, soit f:IRf:I\to\mathbf{R} avec II un intervalle de R\mathbf{R}.


Définition

Soit aIa\in I. On dit que ff est dérivable en aa si la limite limxaf(x)f(a)xa\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

existe et est finie. On définit alors f(a)f'(a) comme étant la valeur de cette limite. C’est le nombre dérivé de ff en aa.


Mais tout comme on a une autre définition de la continuité, on a en a une autre pour la dérivabilité.


Définition équivalente

ff est dérivable en aa s’il existe ϵ:IR\epsilon : I\to\mathbf{R} et f(a)Rf'(a)\in \mathbf{R} tels que xI,f(x)=f(a)+f(a)(xa)+(xa)ϵ(xa)\forall x\in I, \; f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\epsilon(x-a)

avec ϵ(xa)\epsilon(x-a) qui tend vers 00 quand xx tend vers aa.


En effet, si on suppose cette égalité, on a pour tout xx de I{a}I-\{a\} : f(x)f(a)xa=f(a)+f(a)(xa)+(xa)ϵ(xa)f(a)xa=f(a)+ϵ(xa)\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\epsilon(x-a) - f(a)}{x-a} = f'(a) + \epsilon(x-a)

mais comme ϵ(xa)\epsilon(x-a) tend vers 00 quand xx tend vers aa on a bien la définition de f(a)f'(a) par la limite précédente.

Réciproquement, on peut poser ϵ(xa)=f(x)f(a)xaf(a)\epsilon(x-a) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a} - f'(a) et la première définition nous assure que ϵ(xa)\epsilon(x-a) tend vers 00 quand xx tend vers aa.

Interprétation géométrique

Graphiquement, on peut tracer l’application xf(a)+f(a)(xa)x\mapsto f(a) + f'(a)(x-a). C’est une droite affine de « pente » f(a)f'(a) qui passe par f(a)f(a).

Vous connaissez probablement un tas d’applications dérivables. En voilà une : xR,f(x)=x3+x+1.\forall x\in \mathbf{R}, \; f(x) = x^3+x +1 .

ff est bien dérivable en 00 et f(0)=1f'(0) = 1. On a la figure suivante :

En bleu, la courbe représentative de ff et en rouge celle de xf(0)+f(0)(x0)x\mapsto f(0) + f'(0)(x-0).

La droite définie par xf(a)+f(a)(xa)x\mapsto f(a) +f'(a)(x-a) a un nom particulier : la tangente à la courbe représentative de ff en aa. Cela signifie, qu’autour de aa, la courbe représentative de ff ressemble beaucoup (beaucoup !) à sa tangente.

En effet, regardez si je prend xx entre 0.01-0.01 et 0.010.01, on a :

Il ne manque aucune courbe, c’est juste que la différence est tellement petite qu’on ne la voit pas.

C’est un fait qui n’arrivait pas toujours avec la continuité. Dans l’exemple de la valeur absolue, on verra toujours une différence entre les deux courbes, même en prenant des xx petits. C’est parce que la valeur absolue n’est pas dérivable en 00.

Et après ?

Nous avons donc vu deux méthodes d’approximation. Pourquoi essayer d’en dégager une autre ?

Regardons l’exemple suivant. On prend la fonction xcos(x)x\mapsto \cos(x) et on l’étudie au voisinage de 00. On peut tout à fait tracer la tangente en 00, cela donne :

On remarque que l’approximation par x1x\mapsto 1 en 00 n’est pas trop mauvaise mais rapidement insuffisante. Si je prends x=0.5x=0.5 j’ai deux résultats sensiblement différents.

Maintenant, regardez si à la place de l’application x1x\mapsto 1 je prenais x1x2/2x\mapsto 1 - x^2/2, j’obtiens la chose suivante :

C’est beaucoup mieux !

Comment obtenir de telles fonctions ? Est-ce qu’on peut faire encore mieux ? Toutes ces questions auront une réponse dans la suite ce tutoriel.

Les voisinages de la droite réelle

Il sera souvent question dans ce tutoriel du voisinage d’un point aR{±}a\in\mathbf{R}\cup\{\pm\infty\}. Il va s’agir d’expliquer rapidement ce qu’est un voisinage de aa.

Cas où aRa\in \mathbf{R}

Supposons donc que aa soit réel.


Définition

Un voisinage VV de aa est une partie de R\mathbf{R} contenant une boule ouverte centrée en aa, c’est-à-dire qu’il existe ϵ>0\epsilon >0 tel que V]aϵ,a+ϵ[.V \supset ]a-\epsilon, a+\epsilon[.


Exemples

Prenons a=2a = 2 les ensembles :

  • R\mathbf{R} ;
  • ]1,3[]1,3[ ;
  • ]1,3[{7}]1,3[\cup \{ 7\} ;

sont des voisinages de 22. Cependant, les ensembles :

  • \emptyset ;
  • {2}\{ 2 \} ;
  • ]1,1[]-1,1[ ;

ne sont pas des voisinages de 22.

Cas où a=±a = \pm \infty


Définition

Un voisinage VV de ++\infty est une partie de R\mathbf{R} telle qu’il existe A>0A>0 tel que V]A,+[.V\supset ]A,+\infty[.


Je vous laisse étudier le cas où a=a= -\infty.

Exemples

L’ensemble ]0,+[]0,+\infty[ est un voisinage de ++\infty et l’ensemble ],101010[\left]-\infty,-10^{10^{10}}\right[ est un voisinage de -\infty.

Application à la définition de la limite

À partir de cette définition des voisinages, on peut facilement formuler la définition d’une limite. Soit f:ERf : E \to \mathbf{R} une application définie sur EE, une partie de R\mathbf{R} qui contient un voisinage de chacun de ses points (on dit que c’est un ouvert).

On dit que f(x)f(x) tend vers aR{±}a\in \mathbf{R}\cup \{\pm\infty\} quand xx tend vers bEb\in E si pour tout voisinage, VaV_a, de aa il existe un voisinage, VbV_b, de bb inclus dans EE tel que f(Vb)Vaf(V_b) \subset V_a. En d’autres termes, xVb,f(x)Va.\forall x\in V_b, \; f(x) \in V_a.


Maintenant que vous connaissez la continuité, la dérivation et les voisinages, nous pouvons commencer à construire de nouveaux objets : les développements limités.