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Vos premiers développements limités

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Motivation

L’introduction permettant de faire le point sur les notions à connaître, on peut entrer dans le sujet même de ce tutoriel. Avant de faire les détails techniques, il est bon d’étudier le problème pour pouvoir comprendre ce que l’on va faire et comment on va l’utiliser.

Par la suite, on considère f:IRf: I \to\mathbf{R}II est un intervalle ouvert de la forme ]a,a[]-a,a[ avec a>0a>0. C’est un voisinage de chacun de ses points et en particulier de 00. Travailler localement autour de 00 où de n’importe quel bRb\in \mathbf{R} est la même chose, quitte à poser f(x)=g(x+b)f(x) = g(x+b).

Des problèmes locaux

L’intérêt d’utiliser des polynômes

Retour sur la dérivation

En soi, vous avez déjà tous les outils nécessaire pour faire des premiers développements limités. Par exemple, si ff est dérivable en 00 alors : f(x)f(0)+f(0)xf(x) \simeq f(0) + f'(0) x

en effet, si vous faîtes tendre xx vers 00 alors f(x)f(0)x\frac{f(x)-f(0)}{x}

va tendre vers f(0)f'(0).

Problème d’unicité

On peut se demander si un tel développement est unique. Par exemple on aurait pu rajouter un terme en x2x^2.

Premières résolutions