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Résumé rapide

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Vous avez suivi toute la partie théorique de ce tutoriel ? Cela était nécessaire et vous en aurez toujours besoin ! Mais il est également bon de pouvoir concilier théorie, pratique et concision. Ce chapitre va essayer de répéter succinctement ce qui a été établi.

En d’autres termes, je vais essayer d’établir ici une petite liste de conseils et de résultats à retenir. C’est un peu ce que j’ai moi-même retenu du sujet. N’hésitez pas à compléter cette approche, mais à ne pas la réduire. J’ai fait attention à ce que chaque détail soit important.

À chaque fois, soyez bien certains d’avoir compris la partie du cours correspondant aux notions rappelées. Il est intentionnel de ne pas tout rappeler (notamment sur les développements de quotients ou de compositions).

Par la suite, on considère nos fonctions de II dans R\mathbf{R}II est un intervalle de la forme ]ϵ,ϵ[]-\epsilon,\epsilon[ avec ϵ>0\epsilon>0 et de classe CnC^n. On va donc étudier des développements limités en 00 (cas auquel on peut toujours se ramener).

Formules de Taylor

Il y a principalement deux formules de Taylor pour le développement de f:IRf:I\to\mathbf{R}. La première est la plus couramment utilisée pour établir des limites explicites.

Formule sans reste intégral

Si ff est de classe CnC^n alors f(h)=k=0nfk(0)k!hk+o(hn)=f(0)+f(0)h++f(n)n!hn+o(hn).f(h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{k}(0)}{k!}h^k + o(h^n) = f(0) + f'(0)h + \ldots + \frac{f^{(n)}}{n!}h^n + o(h^n).

La réciproque est fausse : si ff admet un développement d’ordre nn alors ff n’est pas nécessairement de classe CnC^n. Un contre-exemple a été exposé précédemment.

Formule avec reste intégral

Sous les mêmes hypothèses, on peut faire un développement de ff à l’ordre n1n-1 (et non nn) avec un reste explicite : f(h)=k=0n1fk(0)k!hk+f(n)(θh)n!hnf(h) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{k}(0)}{k!}h^k + \frac{f^{(n)}(\theta h)}{n!}h^n

avec θ\theta strictement compris entre 00 et 11. En particulier, f(n)(θh)n!hn=o(hn1).\frac{f^{(n)}(\theta h)}{n!}h^n = o(h^{n-1}).

Opérations

Somme, produit, quotient et composition

On se donne f,g:IRf,g:I\to\mathbf{R} toutes les deux de classe CnC^n. Alors sans aucune condition supplémentaire, on peut faire les développements limités à l’ordre nn de fgfg et f+gf+g. De plus, les polynômes de ces développements sont respectivement le produit et la somme des polynômes des développements de ff et gg.

En d’autre termes, si on note PfP_f le polynôme du développement limité de ff à l’ordre nn et PgP_g celui de gg : f+g=Pf+Pg+o(hn),fg=PfPg+o(hn).f+g = P_f+P_g + o(h^n), \; fg = P_fP_g + o(h^n).

Pour le quotient f/gf/g il suffit de supposer que gg ne s’annule pas en 00 pour pouvoir procéder au développement du quotient qui vérifie : f/g=Pf/Pg+o(hn)f/g = P_f/P_g+o(h^n)

où l’on définit le quotient de deux polynômes par le tronqué du quotient selon les puissances croissantes.

Si g(0)=0g(0)=0 alors fgf\circ g est développable à l’ordre nn et fg=PfPg+o(hn).f\circ g = P_f\circ P_g + o(h^n).

À chaque fois, si des termes en hkh^k avec knk\geq n apparaissent, on les fait passer dans le o(hn)o(h^n).

Primitive, dérivation

Si ff admet un développement à l’ordre nn, alors FF vérifiant F(0)=0F(0)=0 et F=fF'=f admet un développement à l’ordre n+1n+1 en 00. De plus, le polynôme dérivé du polynôme du développement de FF est celui de ff.

Conseils de brouillon

Lorsque vous planchez sur un calcul voici quelques conseils pour votre brouillon.

N’écrivez pas les o(hn)o(h^n). Ils sont totalement transparents aux opérations rappelées plus haut et n’auront généralement pas de vraie importance.

Pour établir l’ordre du développement limité à calculer voici quelques indications :

  • si vous devez étudier un produit ou une somme ou une composition, essayez les plus petits développements pour avoir un polynôme non nul dans le développement obtenu ;
  • si vous devez étudier un quotient (par exemple pour une forme indéterminée), commencez par développer le dénominateur afin de connaitre la plus petite puissance en jeu, si cette puissance est nn alors essayez de développer le numérateur à l’ordre nn.

Lorsque plusieurs combinaisons interviennent (par exemple une composition et un quotient), allez dans l’ordre des opérations.

Dans la plupart des cas, ces deux conseils vous feront avancer vite dans les calculs afin d’y voir clair et de pouvoir dans la rédaction réduire le nombre de tâches à effectuer (si les calculs sont faits, plus besoin d’y penser). Cependant, dans la rédaction il faudra généralement mettre plus de détails (notamment sur l’écriture des o(hn)o(h^n)). Ne négligez aucune des deux étapes.