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Quelques exemples

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Je vais vous donner deux exemples très simples que vous pouvez reprendre facilement pour d’autres applications. Cela devrait vous permettre de remarquer l’efficacité de la méthode de Newton et de rencontrer un cas plus exotique où la méthode s’applique moins bien.

Une suite convergente vers racine de deux

La méthode de Newton permet de mettre en évidence une suite à valeurs rationnelles et qui converge (et vite) vers 2\sqrt{2} (ce qui a aussi une utilité théorique).

En effet, le polynôme x22x^2-2 a une racine simple en 2\sqrt{2} et donc la suite de terme général : un=un1un1222un1u_n = u_{n-1} - \frac{u_{n-1}^2 - 2}{2u_{n-1}}

converge vers 2\sqrt{2} pour u0u_0 suffisamment proche de 2\sqrt{2} (les hypothèses de régularité sont bien vérifiées). En réalité, pour tout u0>0u_0>0 cela fonctionne.

Avec u0=1u_0 = 1 on a les premières valeurs suivantes :

Rang Valeur
0  1
1 3/2 = 1.66666…
2 17/12 = 1.41666666…
3 577/408 = 1.414215686…

Et vous pouvez vérifier que cette dernière approximation de 2\sqrt{2} est juste sur les 5 premières décimales !

Une suite associée à une fonction plate

Un grand oublié de notre méthode est la classe des fonctions plates. Pour rappel, les fonctions plates sont les fonctions dont le développement limité est nul alors qu’elles sont non nécessairement nulles.

Par exemple, celui que vous devriez retenir, la fonction suivante : f:xe1/x2,f(0)=0f : x \mapsto e^{-1/x^2}, \; f(0) = 0

est plate au voisinage de 00. En effet, toutes les dérivées successives de ff s’annulent en 00 et pourtant, pour xx non nul, f(x)f(x) est non nul. Succinctement, on a pour tout entier nn et tout hh réel : f(0+h)=0+o(hn).f(0+h) = 0 + o(h^n) .

Si cet exemple vous semble difficile, vous devriez probablement relire l’extrait sur les fonctions plates dans le chapitre des compléments de la première partie.

La fonction ff précédente est donc un exemple de fonction plate, la méthode de Newton ne s’applique donc à priori pas. En effet, elle n’est pas prévue pour des fonctions ayant une racine d’ordre non fini (puisqu’aucune dérivée nn-ième est non nulle, ff n’a pas une racine d’ordre fini en 00). Cependant, supposons que ça soit le cas et posons : N(x)=xe1/x22x3e1/x2=xx32.N(x) = x - \frac{e^{-1/x^2}}{\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}} = x - \frac{x^3}{2}.

On va naïvement itérer ce procédé en prenant pour première valeur x=1x = 1. Regardons donc la suite de terme général : un+1=unun32u_{n+1} = u_{n} - \frac{u_n^3}{2}

et avec u0=1u_0 = 1.

On obtient comme premiers termes :

Rang Valeur
0  1
1 1/2 = 0.5
2 7/16 = 0.4375
3 3241/8192 = 0.3956…
50  0.1347…
500  0.0444…

Les calculs sont approchés, il n’empêche que l’on observe facilement que cette suite semble converger mais très, très, lentement. Il semble donc que dans ce cas particulier la méthode de Newton donne une convergence, mais ce n’est pas assuré pour toutes les fonctions plates !

La méthode de Newton est donc très peu efficace sur un tel cas, il faudrait se tourner vers d’autres méthodes de convergence pour ces fonctions un peu exotiques.


Cette partie se termine. Ces exemples devraient vous avoir éclairé sur les calculs à faire pour obtenir numériquement des approximation. Vous avez sans doute retenu que même sans la touche « Racine carrée » de la calculatrice, on peut évaluer très facilement des nombres comme 2\sqrt{2} (et même bien d’autres !).

Pour vous entrainez, vous pouvez tenter de donner une méthode pour approcher π\pi (avec une convergence quadratique par exemple). Pour cela vous pourriez utiliser la relation sin(π)=0\sin(\pi) = 0.