Bac de maths, correction de l'exercice 2
Je vais proposer maintenant une correction de l’exercice 2. Vous pouvez trouver l’énoncé ici.
Correction
Première question
Le point $(1,a,a^2)$ appartient au plan $P$ si, et seulement si,
Pour montrer qu’aucune valeur de $a$ ne permet d’obtenir un tel point, il suffit de montrer que l’équation du second degré :
n’admet pas de solution réelle. Mais cette équation c’est $x^2=-1$ et donc il n’existe pas de solution réelle (les solutions sont $i$ et $-i$ !).
Deuxième question
Petit a
Un vecteur orthogonal à $P$ est donné par $(2,0,-1)$. En effet, $(x,y,z)$ appartient à $2x-z=0$ si, et seulement si,
c’est-à-dire $(x,y,z)$ orthogonal à $(2,0,-1)$.
La droite $D$ est donc décrite par :
avec $t$ le paramètre réel.
Petit b
Soit $M=(x,y,z)$ un tel point de de $D$. Alors la distance au carré, $AM^2$, est donnée par $(x-1)^2+ (y-a)^2 + (z-a^2)^2$, c’est-à-dire :
et donc la distance est :
Troisième question
Il s’agit tout d’abord de déterminer l’intersection, $H$, de la droite $D$ avec le plan $P$. Ils s’intersectent bien car $D$ est dirigé par un vecteur normal à $P$, donc évidemment non parallèle.
Puisqu’un tel point appartient à $D$, il s’écrit $H = (2t+1,a,-t+a^2)$ avec $t$ un réel. Pour que $H$ appartienne au plan $P$ il faut et il suffit que :
c’est-à-dire :
ce qui donne :
La question précédente appliquée à $M=H$ montre que la distance de $A$ au plan $P$ est :
La fonction $x\mapsto 1+x^2$ ayant un minimum en $x=0$, cette distance a donc un minimum atteint en $a=0$, c’est-à-dire pour $A=(1,0,0)$.
La distance minimale obtenue est alors $1/\sqrt 5$.
C’est cool la géométrie ! 
